La distribució de Pareto, que porta el nom de l'enginyer civil, economista i sociòleg Vilfredo Pareto, és una distribució de probabilitat que s'utilitza per descriure diferents fenòmens socials, de control de qualitat, científics, geofísics, actuarials i altres tipus de fenòmens observables. Inicialment es va aplicar en la descripció de la distribució de la riquesa a la societat, ja que encaixava amb la tendència que una gran porció de la riquesa és propietat d'una fracció petita de la població. El principi de Pareto o la "regla 80-20" que afirma que "el 80% dels efectes són conseqüència del 20% de les causes" també porta el nom de Pareto, tot i que el concepte és diferent, i només les distribució de Pareto amb paràmetre de forma () de log₄5 ≈ 1.16 reflecteixen aquest precís cas. Observacions empíriques han demostrat que aquesta distribució 80-20 encaixa un ampli espectre de casos, inclosos fenòmens naturals i activitats humanes.
Definicions Sigui X una variable aleatòria que segueix una distribució de Pareto (de tipus I), llavors la probabilitat que X sigui més gran que un cert nombre x, és a dir funció de supervivència ve donada per
on xm és el valor mínim possible (necessàriament positiu) de X, i α és un paràmetre positiu. La distribució de Pareto de tipus I és caracteritzada pel paràmetre d'escala xm i pel paràmetre de forma α, que és conegut com índex de cua (de l'anglès tail index). Quan s'utilitza aquesta distribució per modelar la distribució de la riquesa, llavors el paràmetre α s'anomena índex de Pareto.
Funció de distribució acumulada A partir de la definició, la funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria de Pareto amb paràmetres α i xm és
Funció de densitat de probabilitat Del resultat anterior se'n desprèn (aplicant la diferenciació) que la funció de densitat de probabilitat és
Quan es representa en eixos lineals, la distribució pren una forma de corba en J i tendeix als eixos ortogonals asimptòticament. Tots els segments de la corba són similars entre ells (més enllà d'un factor d'escala). Quan s'empra la representació logarítmica, la distribució és una línea recta.
Propietats Moments i funció característica L'esperança d'una variable aleatòria que segueix la distribució de Pareto és
La variància d'una variable aleatòria que segueix una distribució de Pareto és
(Si α ≤ 1, la variància no existeix.) Els moments són
La funció generadora de moments només és definida per valors no positius de t ≤ 0 com
La funció característica ve donada per
on Γ(a, x) és la funció gamma incompleta.
Es poden resoldre els paràmetres usant el mètode dels moments.S. Hussain, S.H. Bhatti (2018). Parameter estimation of Pareto distribution: Some modified moment estimators. Maejo International Journal of Science and Technology 12(1):11-27
Mitjana geomètrica La mitjana geomètrica (G) ésJohnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.
Mitjana harmònica La mitjana harmònica (H) és
Representació gràfica La distribució corbada amb forma de 'llarga cua' característica que s'obté quan es representa en escala lineal emmascara la simplicitat subjacent de la funció quan es representa logarítmicament, cas en què es mostra com una línea recta amb pendent negatiu. Deriva de la fórmula de la funció de densitat de probabilitat que, per x ≥ xm,
Com que α és positiu, el gradient −(α + 1) és negatiu.
Distribucions relacionades Distribucions generalitzades de Pareto Existeix una jerarquiaJohnson, Kotz, and Balakrishnan (1994), (20.4). de les distribucions de Pareto conegudes com Tipus I, II, III, IV, i la distribució de Feller–Pareto. La distribució de Pareto de Tipus IV conté les distribucions de Pareto de Tipus I–III com a casos particulars. La distribució de Feller–Pareto "The densities (4.3) are sometimes called after the economist Pareto. It was thought (rather naïvely from a modern statistical standpoint) that income distributions should have a tail with a density ~ Ax−α as x → ∞." generalitza la distribució de Pareto de Tipus IV.
Pareto de tipus I-IV La jerarquia de les diferents distribucions de Pareto és resumida en la següent taula, en què es comparen les diferents funcions de supervivència.
Quan μ = 0, la distribució de Pareto de Tipus II és també coneguda com la distribució Lomax.
En aquesta secció, el símbol xm, utilitzat prèviament per indicar el valor mínim de x, és substituït per σ.
+Distribució Pareto Dominii Paràmetres Tipus I Tipus II Lomax Tipus III Tipus IV
El paràmetre de forma α és l'índex de cua, μ és la ubicació, σ és l'escala, γ és un paràmetre de desigualtat. Alguns casos particulars de la distribució de Pareto de Tipus IV són
El fet que la mitjana sigui finita i que existeixi la variància i sigui també finita depèn de l'índex de cua α (índex de desigualtat γ). En particular, es mostren a continuació els moments d'ordre δ, que són finits per certs valors de δ > 0, as shown in the table below, on δ no és necessàriament un nombre enter.
+Moments de les distribucions de Pareto (cas μ = 0) Condició Condició Tipus I Tipus II Tipus III Tipus IV
Distribució de Feller-Pareto William Feller va definir la variable de Pareto a partir de la transformació U = Y−1 − 1 d'una variable aleatòria beta Y, que té com a funció de densitat de probabilitat és
on B( ) és la funció beta. Si
llavors W segueix una distribució de Feller–Pareto FP(μ, σ, γ, γ1, γ₂).
Si i són variables Gamma independents, una altra possible construcció d'una variable aleatòria de Feller–Pareto (FP) és
i s'escriu W ~ FP(μ, σ, γ, δ1, δ₂). Casos especials de distribucions de Feller–Pareto són
Relació amb la distribució exponencial La distribució de Pareto està relacionada amb la distribució exponencial. Sigui X una distribució de Pareto amb valor mínim xm i índex α, llavors
està distribuïda exponencialment amb paràmetre α. Equivalentment, si Y està distribuïda exponencialment amb paràmetre α, llavors
està distribuïda segons Pareto amb mínim xm i índex α.
Això es pot demostrar utilitzant tècniques estàndard de canvi de variable:
La darrera expressió és la funció de distribució acumulada de la distribució exponencial amb paràmetre α.
Es pot construir la distribució de Pareto a parrtir de distribucions exponencials jeràrquiques. section 5.3.1 Sigui
.
Llavors, .
Relació amb la distribució log-normal La distribució de Pareto i la distribució log-normal són distribucions alternatives per descriure els mateixos tipus de quantitats. Una de les connexions que hi ha entre elles és que les dues són distribucions que es poden expressar com l'exponenciació d'altres distribucions comunes, de la distribució exponencial i de la distribució normal respectivament. (Vegeu la secció anterior).
Relació amb la distribució generalitzada de Pareto La distribució de Pareto és un cas particular de la distribució generalitzada de Pareto, que és una família de distribucions que tenen una forma similar, però conté un paràmetre extra de tal forma que el domini de la distribució és o bé fitada per baix (en un punt variable), o bé fitada tant per baix com per dalt (totes dues fites són variables), amb la distribució Lomax com a cas particular. Aquesta família també conté les distribucions exponencials desplaçada i no desplaçada.
La distribució de Pareto amb paràmetre d'escala i paràmetre de forma és equivalent a la distribució generalitzada de Pareto amb paràmetre d'ubicació , paràmetre d'escala i paràmetre de forma . Vice versa, es pot obtenir la distribució de Pareto a partir de la distribució generalitzada de Pareto amb i .
Distribució fitada de Pareto
La distribució fitada (o truncada) de Pareto té tres paràmetres: α, L i H. Com en la distribució estàndard de Pareto, α determina la forma. L denota el valor mínim i H el valor màxim.
La funció de densitat de probabilitat de la distribució fitada de Pareto és
,
on L ≤ x ≤ H i α > 0.
Variables aleatòries que generen distribucions fitades de Pareto Sigui U una istribució uniforme en (0, 1), llavors, aplicant el mètode de la transformada inversa
és una distribució fitada de Pareto.
Distribució simètrica de Pareto L'objectiu de la distribució simètrica de Pareto i de la distribució zero simètrica de Pareto és capturar algunes distribucions estadístiques especials amb un pic afilat de probabilitat i amb cues de probabilitat simètriques i llargues. Aquestes dues distribucions deriven de la distribució de Pareto. Les cues llargues de probabilitat signifiquen que la probabilitat decau lentament. En molts casos, la distribució de Pareto s'utilitza per ajustar corbes. Però si la distribució té una estructura simètrica amb dues cues que decauen lentament, la distribució de Pareto ja no serveix. És llavors quan s'utilitzen les distribucions simètrica i zero simètrica de Pareto.
La funció de distribució acumulada de la distribució de Pareto és definida com:
La funció de densitat de probabilitat corresponent és:
La distribució té dos paràmetres: a i b. És simètrica respecte b. Llavors, l'esperança matemàtica és b. La variància és
La funció de distribució acumulada de la distribució zero simètrica de Pareto és definida com
Amb funció de densitat de probabilitat
Aquesta distribució és simètrica respecte el zero. El paràmetre està relacionat amb la taxa de caiguda de la probabilitat i representa la magnitud pic de probabilitat.
Distribució conjunta de Pareto La distribució (univariable) de Pareto es pot estendre a la distribució conjunta (multivariable) de Pareto.
Inferència estadística Estimació de paràmetres La funció de versemblança dels paràmetre de la distribució de Pareto α i xm, donada una mostra independent x = (x1, x₂, ..., xn), és
Per tant, la funció logarítmica de versemblança és
Es pot notar que és monòtonament ascendent amb xm, és a dir, com més gran és el valor de xm, més gran serà el valor de la funció de versemblança. Per tant, com que x ≥ xm, es pot concloure que
Per trobar un estimador per α, es calcula la derivada parcial corresponent i es determina quan és igual a zero:
Per tant, l'estimador de màxima versemblança per α és:
L'esperança de l'error estadístic és:
Malik (1970) va donar la distribució conjunta exacta de . En particular, i són independents i és una distribució de Pareto amb paràmetre d'escala xm i paràmetre de forma nα, mentre segueix una distribució gamma-inversa amb paràmetres de forma i d'escala n − 1 i nα, respectivament.
Aparició i aplicacions General