La fórmula de d'Alembert és la solució general de l'equació d'ona unidimensional homogènia, una equació en derivades parcials hiperbòlica. Va ser deduïda pel matemàtic Jean le Rond d'Alembert.
[No s'ha de confondre amb l'Equació de d'Alembert, del mateix autor, que és una equació diferencial ordinària no lineal de primer ordre.]
Donada l'equació d'ona unidimensional homogènia
la fórmula de d'Alembert té expressió:
on g i h són funcions escalars a escollir. Les possibles tries d'aquestes funcions permeten obtenir les diferents solucions de l'equació d'ones. Tanmateix, no qualsevol tria de g i h condueix a una solució. Per exemple, si g no és diferenciable, és probable que la funció u(x,t) donada per la fórmula tampoc ho sigui, i llavors l'equació d'ona deixa de tenir sentit. Una condició suficient perquè la funció donada per la fórmula de d'Alembert sigui solució de l'equació d'ona és que i (per aquesta notació vegeu classe de diferenciabilitat).
Deducció S'obté com a solució del problema de Cauchy:
amb g i h arbitràries.
Les corbes característiques de l'equació en derivades parcials són les rectes , de manera que amb el canvi de variables es pot transformar l'equació en derivades parcials en . La solució general de l'equació en derivades parcials és on i són funcions . Tornant a les coordenades ,
és si i són .
Aquesta solució pot ser interpretada com dues ones de velocitat que es desplacen en direccions oposades al llarg de l'eix x.
A continuació es considera aquesta solució amb la condició de frontera de Cauchy .
Usant s'obté .
Usant s'obté .
Integrant l'última equació s'aconsegueix
Les solucions del sistema d'equacions format per les equacions última i antepenúltima són
Ara, usant
la fórmula de d'Alembert esdevé:
Bibliografia
Enllaços externs Un exemple de com resoldre una equació d'ona no homogènia des www.exampleproblems.com
Categoria:Equacions en derivades parcials d'Alembert