El càlcul lògic o derivació lògica és un algorisme que permet còmoda i fàcilment inferir o deduir un enunciat veritable a partir d'un altre o altres que es tenen com a vàlidament veritables. La inferència o deducció és una operació lògica que consisteix a obtenir un enunciat com-conclusió-a partir d'una altra (s)-premissa (s) - mitjançant l'aplicació de regles d'inferència. Es diu que algú infereix-o dedueix-"T" de "R" si accepta que si "R" té valor de veritat V, llavors, necessàriament, "T" té valor de veritat V.
Les persones en la nostra tasca diària, utilitzem constantment el raonament deductiu, partim d'enunciats empírics-suposadament veritables i vàlids - per concloure en un altre enunciat que es deriva d'aquells.
La lògica, com a ciència formal, s'ocupa d'analitzar i sistematitzar les regles que permeten la transformació d'uns enunciats-premisses-en d'altres-conclusions-a fi de convertir les operacions deductives en un càlcul rigorós i eficaç.
En aplicar les regles d'aquest càlcul lògic als enunciats que formen un argument, mitjançant la simbolització adequada de fórmules o Expressions ben formades (EBF) construïm un model o sistema deductiu que, referit al llenguatge ordinari, anomenem de càlcul de deducció natural.
Sistematització d'un càlcul La representació gràfica dels símbols no està normalitzada, la qual cosa porta a vegades a certes dificultats d'interpretació.
Regles de formació de fórmules I. - Una lletra enunciativa (amb subíndex o sense) és una EBF (Expressió Bé Formada - de l'anglès WFF o sigui "well-formed formula" que significa "fórmula ben formada"). II .- Si A és una fórmula, ¬ A també ho és. III .- Si A és una EBF i B també, A/\B; A \/B; A → B; A ↔ B també ho són. IV .- Cap expressió és una fórmula del Càlcul sinó en virtut de I, II, III.
Nota: A, B, ... amb majúscules estan utilitzades com metallenguatge en el qual cada variable expressa qualsevol proposició, atòmica o molecular.
Nota: Per a la definició com a funció lògica de ¬,/\, \/, →, i ↔, vegeu Taula de valors de veritat
Regles de transformació de fórmules RT1 Donada una tesi EBF del càlcul, en la qual apareixen variables d'enunciats, el resultat de substituir una, algunes o totes aquestes variables per expressions ben formades (EBF) del càlcul, serà també una tesi EBF del càlcul. I això amb una única restricció, tot i que molt important: cada variable ha de ser substituïda sempre que apareix i sempre pel mateix substitut.
Vegem l'exemple: 1Regla de Transformació2on , i on 3on
O viceversa: 1Regla de Transformació2on 3on , i on
Aquesta regla rep el nom de regla de substitució
RT2: Si X és una tesi EBF del sistema i ho és també X -→ I, llavors I és una tesi EBF del sistema.
Aquesta regla rep el nom de regla de separació
Sobre la base d'aquestes dues regles, sempre podrem reduir un argument qualsevol a la forma:
[A/\B/\C. ...../\N] ----→ I
el que constitueix un esquema d'inferència en què de la veritat de les premisses A, B, N i el seu producte, podem obtenir la conclusió I.
Concepte de model Quan en un Càlcul C, s'estableix una "correspondència" de cada símbol amb elements determinats individuals distingibles entre si, d'un Univers L, real, (tal univers L no és un conjunt buit, per les mateixes condicions que hem establert) LLAVORS es diu que L és un model de C.
El llenguatge natural com a model d'un càlcul lògic El càlcul lògic és útil perquè pot tenir aplicacions. Però què és o com es fan aquestes aplicacions? Per al càlcul d'enunciats podem considerar que el llenguatge natural és un model de C si es pot sotmetre, és a dir, aplicar una correspondència en C. Aquest procés és el que s'anomena formalització del llenguatge. El llenguatge científic necessita "formalitzar el llenguatge" per tal d'evitar ambigüitats en les expressions i en els continguts semàntics de les paraules.
Quan és possible s'arriba a una formalització completament sotmesa a regles prèviament establertes, com es pretén en aquest cas, i els elements que constitueixen les Expressions ben formades (EBF) s del llenguatge natural es poden substituir per variables sense significat, sense contingut semàntic algun perquè realitzarien la mateixa funció que qualsevol paraula de la llengua que compleixi la funció sintàctica de l'expressió. Llavors podem procedir com en un càlcul.
No sempre és possible, però és, seria, el llenguatge ideal de la ciència,Com arribar a pretendre els neopositivistes perquè evitaria la necessitat de "interpretació". No hi hauria més que substituir variables per variables lingüístiques i constants per les seves expressions lingüístiques formalitzades.
És el que es pretén en aquest apartat: sotmetre les expressions del llenguatge natural a unes variables simbòliques mitjançant unes regles de simbolització:
Regles de simbolització Regla I Cada un dels enunciats simples del llenguatge natural se substituirà per variables proposicionals simbolitzades per lletres minúscules, p, q, r, s, t...
Regla II Les expressions del llenguatge natural com ara «no», "no és cert", "no és el cas que" "és fals", "és impossible" i totes aquelles que siguin equivalents, se substituiran pel símbol ¬ : Plou, p; No plou: ¬ p
Regla III Les expressions del llenguatge natural com ara "i", "ni" "però", "que", "més", i totes les que siguin equivalents, se substitueixen pel símbol/\ : Plou: p; Fa fred: q; Plou i fa fred: p/q;
Regla IV Les expressions del llenguatge natural com ara "o", "o. .. o", "bé ... bé", "ja ... ja", i els seus equivalents, se substitueixen pel símbol \/ : Plou: p; Fa fred: q; O plou o fa fred: p \/q
Regla V Les expressions naturals com ara "si .... llavors", "després ...."," per tant "," per tant "," sempre que ...", "s'infereix", "es dedueix" i els seus equivalents se substituiran pel símbol → Plou: p; Fa fred: q; Si plou llavors fa fred: p → q
Regla VI Les expressions del llenguatge natural com ara "... si i només si ..."," .. equival a.. "," .. És.igual a. .. " m "val per ...","... és el mateix que ...", i els seus equivalents se substituiran pel símbol ↔ Plou: p; Fa fred: q; Si i només si plou llavors fa fred: p ↔ q
Ús de parèntesis
No s'utilitza parèntesi en aquells casos en què els connectors afecten enunciats simples o atòmics. S'utilitza parèntesi quan el connector afecti a tota una conjunció, disjunció, condicional o Si i només si. S'utilitza el parèntesi en les expressions conjuntives i disjuntives precedides o seguides d'un condicionador o bicondicionador. S'utilitza el parèntesi en les expressions que ens interessi precisar la dominància del connector, o bé perquè els connectors tinguin la mateixa dominància-com en el cas del conjuntor i del disjuntor que són idempotentes-o bé perquè el sentit de l'expressió exigeix l'alteració de la dominància de les connectives fortes-les condicions i el bicondicionador que són les connectives fortes.
Cadena deductiva És una seqüència finita d'enunciats dels quals un, la conclusió, se segueix necessàriament dels anteriors. Cada enunciat que forma part d'una determinada cadena deductiva constitueix una línia de derivació.
- Les diferents línies de derivació es col·locaran una sota d'una altra numerades correlativament a partir de l'u.
- Les línies corresponents a les premisses inicials aniran proveïdes d'un guió que precedirà al número que tinguin assignat.
- Si la línia correspon a una fórmula inferida, s'indicarà a la seva dreta la regla aplicada i les premisses o les línies a les quals s'ha aplicat la regla.
Nombre líniaEBFReglamentLínies&EBFReglament Slínia, 2$EBFReglament Rlínia 1N-2EBFRegla Xlínies 1, $N-1EBFReglament Tlínies 2, (n-2)NEBFReglament Ulínies &, (n-1)Tancamentconclusió
De quina manera es pot obtenir la conclusió? a) La conclusió es pot obtenir "directament" aplicant regles d'inferència sobre les premisses inicials.
b) Quan en el desenvolupament de la derivació és necessari utilitzar premisses addicionals (supòsits no prevists en les premisses donades), diem que la derivació és "subordinada", és a dir, l'obtenció de la conclusió se subordina a la utilització d'aquests supòsits.
c) En cas que la conclusió no pugui obtenir pels mètodes ja ressenyats, recorrerem a la derivació "indirecta" o de "reducció a l'absurd".
Observacions tècniques
- Les línies de derivació que introdueixen provisionalment supòsits no prevists en les premisses inicials, hauran de portar un senyal en esquadra mirant cap avall. El significat del senyal és: "suposem de moment ..."
Línia n┌ XVol dir que X és un supòsit provisional no previst en les premisses.Línia n+1│Línia no utilitzable fora del supòsit.Línies│Línia no utilitzable fora del supòsit.Línia n+a└ ISignifica el tancament del suposat i la seva cancel·lació
- Els supòsits provisionals hauran de ser cancel·lats abans d'establir la conclusió. Un suposat provisional queda cancel·lat quan, en una línia posterior d'aquesta derivació, s'obté una fórmula tal que permet la deducció immediata d'una altra fórmula que és independent del referit supòsit. La cancel·lació d'un supòsit s'expressa tancant l'escaire.
- La reducció a l'absurd consisteix a suposar com a premissa provisional la negació de la fórmula que es pretén demostrar i obtenir, mitjançant aquest supòsit, una contradicció. La conseqüència lògica serà la negació del supòsit, és a dir, l'afirmació de la conclusió desitjada.
- Tot supòsit provisional o les fórmules d'ell derivades incloses dins de les esquadres no podran utilitzar després de la cancel·lació del supòsit com a elements de noves inferències.
Regles del càlcul de deducció natural. Càlcul proposicional En aquest càlcul la proposició lògica és considerada com un tot en la seva condició de poder ser V, veritable, o F, falsa. Es distingeixen les regles primitives i les derivades. Les derivades són producte de les primitives, però faciliten i redueixen els passos de la deducció. Així mateix, les de reemplaçament signifiquen que una expressió pot ser substituïda directament pel seu equivalent, de vegades com a definició.
Regles primitives + Exemple de càlcul proposicional Si dos gasos tenen la mateixa temperatura llavors les seves molècules tenen la mateixa mitjana d'energia cinètica.
Volums iguals de dos gasos tenen el mateix nombre de molècules.
Les pressions de dos gasos són iguals si és el mateix el seu nombre de molècules i les seves energies cinètiques són iguals.
Per tant, si dos gasos tenen la mateixa temperatura i el mateix volum, tenen la mateixa pressió.
Simbolització proposicional
Per dos gasos:
t: Tenir la mateixa temperatura.
c: Tenir les molècules la mateixa energia cinètica.
v: Tenir volums iguals.
m: Tenir mateix nombre de molècules.
p: Tenir pressions iguals.
Esquema d'inferència, o argument
t -→ c/\v -→ m/\ (m/\c) -→ p,|- (t/\v) -→ p
Càlcul de Deducció
- 1 t -→ c
- 2 v -→ m
- 3 (m/\c) -→ p
┌ 4 t/\v Supòsit
│ 5 t E.C.4
│ 6 v E.C.4
│ 7 c M.P.1, 5
│ 8 m M.P.2, 6
│ 9 m/\c I.C.7, 8
│ 10 c/\m C.C.9
└ 11 p M.P.3-9
___________ Tancament supòsit
12 (t/\v) -→ p I.I.4-10 Les regles primitives són les següents:
Introducció del negador, demostració indirecta o absurd IN
┌ línia (n)ASupòsit provisional│-Línies derivades provisionals│-no utilitzables fora del supòsit└ línia (n+a)B/\¬ BRegla IC, línia s, r_________Línia de tancamentLínia (n+a)+1¬ A Reglament IN línies (n - n+a+1) Conclusió
Eliminació del negador o Ex contradictione quòdlibet ECQ
Línia nAFórmula de la cadenaLínia n+a¬ AFórmula de la cadena_______Línia de tancament C Regla A, línies n, n+a Conclusió
Resulta curiosa aquesta regla, però és la que justifica arguments tals com: "Si això que dius és veritat, jo sóc el papa de Roma", que, són vàlids encara que inútils, ja que es dona per suposada la falsedat de les premisses.
Per això "ex contradictione quod libet", és a dir, d'una contradicció podem concloure el que vulguem.
Introducció del conjuntor o producte: I.C.