miniatura|En vermell, representació gràfica d'una funció f en el pla cartesià. L'eix horitzontal, en blau, representa les dades d'entrada o l'origen x i l'eix vertical, en groc, representa la sortida o resultat, de manera que el gràfic es compon de parells ordenats (x,f(x)). En matemàtiques, una funció és la idealització de com una quantitat variable depèn d'una altra quantitat. Per exemple, les funcions polinòmiques, les funcions trigonomètriques, funcions que transformen formes geomètriques en formes geomètriques (per exemple, les rotacions, translacions, homotècies…), funcions que transformen una forma geomètrica en un nombre (per exemple, la llargària d'un segment, l'àrea delimitada per un polígon…) i, en general, funcions que transformen elements d'un conjunt de partida A en elements d'un conjunt d'arribada B.
Definicions Definició intuïtiva miniatura|Una funció pren un valor x com a entrada, del qual en treu un valor de sortida f(x). Aquest gràfic és una metàfora que simplifica el concepte de funció com si es tractés d'un procés. miniatura|Funció que associa a cadascuna de les quatre formes colorades el seu color. Una funció és una regla o procediment que estableix una determinada sortida per cada entrada. Per exemple: Una pedra que es deixa caure d'un edifici triga un temps diferent a arribar a terra segons el pis del qual es deixa caure. Per exemple, pot prendre 2 segons si es deixa caure del 2n pis o 4 segons si es deixa caure del 8è. Tenint la coneixença del pis del qual es deixa caure la pedra, la sortida de la funció seria el temps que triga la pedra a arribar a terra. En un grup de gent, s'hi trobaran diverses persones a les quals els agrada algun color: vermell, taronja, groc, verd, blau, indi i morat. L'entrada de la funció podria ser la persona i la sortida seria un dels set colors. Els colors preferits són una funció de la persona al color. A una persona, per exemple, li pot agradar el vermell, mentre que a una altra li pot agradar el morat. Tot i això, és perfectament possible que a dues o més persones els agradi el mateix color. Per a un exemple de funció, sigui X un conjunt de quatre formes: un triangle vermell, un rectangle groc, un hexàgon verd i un quadrat vermell; i si fos Y un conjunt compost de cinc colors: vermell, blau, verd, rosa i groc. Vincular cada forma amb el seu color és una funció de X a Y: cada forma es vincula amb un color. No hi ha forma sense vincle i cap de les formes es vincula a dos o més colors. Aquesta funció s'anomenarà com la "funció del color-de-la-forma".
L'entrada d'una funció s'anomena argument, i la sortida s'anomena valor. El conjunt de totes les entrades permeses per una funció determinada s'anomena domini de la funció, mentre que el conjunt de les sortides permeses s'anomena codomini. D'aquesta manera, en l'exemple de la "funció del color-de-la-forma", el domini és el conjunt de quatre formes i el codomini consisteix en els cinc colors. El concepte d'una funció no requereix que cada possible sortida sigui el valor de cada argument, per exemple: el color blau no és el color de cap de les quatre formes en X.
Altres exemples: Una funció en què el domini se selecciona com el conjunt de nombres naturals (0, 1, 2, 3, 4...), i el codomini és el conjunt d'enters (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...). La funció s'associa a qualsevol nombre natural n, el nombre 4-n. Per exemple, per a 1, s'associa el nombre 3 i per a 10 s'associa el nombre -6. En una funció que té un conjunt de polígons com a domini i un conjunt de nombres naturals com a codomini, la funció pot associar el polígon amb el nombre de vèrtex. Per exemple, un triangle s'associa amb el 3, un quadrat amb el 4, etc.
El terme recorregut s'utilitza sovint tant per al codomini com per al conjunt dels valors que la funció pren en la pràctica.
Definició Una funció (o aplicació o transformació) f és una relació entre un conjunt donat X (el domini) i un altre conjunt d'elements Y (el codomini), de manera que a cada element x del domini li correspon un únic element del codomini f(x). Es denota per:
Normalment, s'escriu f(x)=y, en què y és l'únic element del conjunt Y al qual apunta l'element x de X.
Habitualment, el terme funció s'utilitza quan el codomini es compon de valors numèrics, reals o complexos. Llavors, es parla de funció real o funció complexa, mentre que a les funcions entre conjunts qualssevol se les anomena aplicacions.
Definició formal Una funció és una terna (A,B,f), en què A i B són dos conjunts qualssevol i f és una correspondència entre aquests dos conjunts, és a dir, un subconjunt del producte cartesià , que compleix:
, si llavors .
És a dir, a un mateix element del conjunt A li correspon un únic element del conjunt B. Segons aquesta definició, doncs, si considerem la terna per a un valor fixat (k > 0), és a dir, la circumferència de radi k definida com una correspondència entre dos cossos de nombres reals, no és una funció, ja que certs elements del primer conjunt, com el punt 0 (i més generalment, tots els reals x tals que -k < x < k), apareixen en dues de les parelles de la correspondència: (0,k) i (0,−k) (i més generalment, i )
Si , es diu que b és la imatge de a, cosa que es nota com , i que a pertany a l'antiimatge de b (cal notar que, per la definició, b pot ser imatge de més d'un element de A, però a no pot tenir més d'una imatge).
Generalment, una funció o aplicació se simbolitza:
en què és el domini de la funció, és a dir, el conjunt de valors de A en què f està definida.
El primer que va utilitzar la paraula funció fou Leibniz (1646-1716). La definició formal va ser establerta per Dirichlet (1805-1859).
Leibniz fou, juntament amb Newton, un dels pares del càlcul infinitesimal. Independentment, els dos científics van desenvolupar el concepte de funció i derivada. Els conceptes que Newton feia servir eren el de fluxió i fluent. En el cas de la derivació, es tractava de trobar una fluxió (derivada) a un determinat fluent (funció). Mentre que en el cas integral, Newton parlava de fluxió (funció) i fluent (integral).
Notació i nomenclatura Al domini també se l'anomena conjunt d'entrada o conjunt inicial. Es denota per o . Als elements del domini, se'ls anomena habitualment argument de la funció.
El codomini, també anomenat conjunt d'arribada, conjunt final o rang de f, se li denota per:
Cal assenyalar que el terme rang és ambigu en la literatura, ja que pot fer referència tant al codomini com al conjunt imatge. Per això, és aconsellable usar el terme codomini.
Si x és un element del domini, a l'element del codomini assignat per la funció i denotat per f(x) se l'anomena valor o imatge de la funció f de x. Al subconjunt del codomini format per tots els valors o imatges se l'anomena imatge, abast o recorregut de la funció. Es denota per o o .
Una preimatge de és algun tal que .
Recordeu que pot haver-hi alguns elements del codomini que no siguin imatge d'un element del domini, però que cada element del domini és preimatge d'almenys un i només un element del codomini.
Exemples framed|Funció amb domini X i Rang Y La funció definida per , té com a domini, codomini i imatge tots els nombres reals (). Per a la funció tal que , en canvi, si bé el seu domini i codomini són iguals a , només tindrà com a imatge dels valors compresos entre 0 i + ∞.
En la figura, es pot apreciar una funció , amb:
Tingueu en compte que, a cada element de X, li correspon un únic element de Y. A més, l'element a de Y no té origen, i l'element b en té dos (l' i el ). Finalment,
Aquesta funció representada com a relació, queda:
Funcions exhaustiva, injectiva, bijectiva Funció exhaustiva (suprajectiva) miniatura|100px|Exemple de funció exhaustiva En el cas de trobar-se, almenys un element x per a cada element y, la funció s'anomena exhaustiva.
En matemàtiques, una funció és una funció exhaustiva (epijectiva, suprajectiva o surjectiva), si està aplicada sobre tot el codomini, és a dir, quan la imatge .
Formalment,
Funció injectiva miniatura|100px|Exemple de funció injectiva En el cas de trobar-se, al màxim un element x per cada element y, la funció s'anomena injectiva.
En matemàtiques, una funció és una funció injectiva o un és a un si per cada Imatge de li correspon un únic origen del domini.
Formalment,
que és equivalent a,
Una funció injectiva compleix la propietat d'injectivitat.
Funció bijectiva miniatura|100px|Exemple de funció bijectiva
En matemàtiques, una funció és una funció bijectiva si és al mateix temps injectiva i exhaustiva.
Formalment,
Les funcions bijectives són interessants per ser aquesta una condició necessària i suficient perquè la funció disposi d'una inversa.
Representació de funcions Una funció es pot definir per qualsevol condició matemàtica que relacioni cada argument (variable d'entrada) amb el corresponent valor de sortida. Si el domini és finit, una funció f s'ha de definir per via d'una tabulació de tots els possibles arguments x i els seus corresponents valors de la funció f(x). De manera més comuna, una funció es defineix per una fórmula, o (més generalment) un algorisme -que és una recepta que explica com computar el valor de f(x) donada qualsevol x en el domini. Existeixen moltes més maneres de definir funcions. N'hi ha exemples que inclouen definició a trossos, inducció o recursió, tancament algebraic o analític, límits, continuació analítica, sèries infinites, o solucions d'integrals o d'equacions diferencials. El càlcul lambda forneix una sintaxi potent i flexible per a definir i combinar funcions de diverses variables. En matemàtiques avançades, algunes funcions existeixen per causa d'un axioma.
Les funcions es poden presentar de diferents maneres, la manera de representar-les es definirà en les seccions següents.
Gràfics miniatura| La gràfica d'una funció és un conjunt de parells ordenats F. Això és una abstracció de la idea d'una gràfica com una imatge mostrant la funció dibuixada sobre un parell d'eixos coordenats, per exemple, (2,8), en què el punt se situa sobre el 2 en l'eix horitzontal i a la dreta del 8 en l'eix vertical. Aquest seria, per exemple, un dels punts de la gràfica y=x3. La gràfica permet visualitzar les tendències en la funció. És molt utilitzada per a les funcions contínues típiques del càlcul, encara que també n'hi ha per a funcions discretes.
Fórmules i algorismes Utilitzant una relació matemàtica descrita mitjançant una expressió matemàtica: equacions de la forma . Quan la relació és funcional, és a dir, satisfà la segona condició de la definició de funció, es pot definir una funció que es diu definida per la relació. Llevat que s'indiqui el contrari, se suposa en aquests casos que el domini és el major possible (respecte a inclusió) i que el codomini són tots els reals. El domini seleccionat es diu el domini natural de la funció. Exemple: . Domini natural és tots els reals. Exemple: "Per a tot x, nombre enter, y val x més dues unitats".
Diferents fórmules o algorismes poden descriure la mateixa funció. Per exemple, és exactament la mateixa funció que . A més, una funció no necessita ser descrita per una fórmula, expressió o algorisme, ni té necessitat de tractar nombres; en realitat, el domini i codomini d'una funció podria tractar amb conjunts arbitraris. Un exemple de funció que actua en entrades no numèriques pren paraules en català com entrada i retorna la primera lletra de la paraula en qüestió com a sortida. La funció factorial:
és definida pel següent algorisme inductiu: 0! es defineix com a 1, i si n ≥ 1, n! es defineix com a . Recorrent a la definició anterior de factorial per cada vegada que es calcula el factorial de nivell inferior. De manera diferent a altres funcions, la funció factorial es denota amb el símbol d'exclamació (que serveix com a símbol de la funció) després de la variable (notació postfix).
Computacionalment