miniatura|Suma vectorial i multiplicació per un escalar: un vector v (blau) s'afegeix a un altre vector w (il·lustració vermella, a dalt). A sota, a w se li aplica un factor d'escala de 2, i llavors es calcula la suma . Un espai vectorial és, en matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal, una estructura algebraica formada per un conjunt de vectors. Els vectors són objectes que es poden sumar entre ells i es poden multiplicar per un nombre, que en aquest context s'anomena escalar, i "aplicar-los un factor d'escala". Sovint es considera que els escalars són nombres reals, però també es poden definir espais vectorials amb la multiplicació escalar per nombres complexos, nombres racionals o, fins i tot, cossos més generals en lloc de fer servir cossos de nombres. Les operacions d'addició vectorial i multiplicació escalar han de satisfer certs requisits, anomenats axiomes, que es descriuen a la secció d'aquest article on es dona la definició formal d'espai vectorial.
Un exemple d'espai vectorial és el dels vectors euclidians, que es fan servir sovint per representar quantitats físiques com ara forces. Dues forces qualssevol (que tinguin el mateix punt d'aplicació) es poden sumar, substituint-les per una tercera força que produeixi el mateix efecte que si s'apliquen les dues alhora, i la multiplicació d'un vector força per un factor real és un altre vector força que té el mateix punt d'aplicació, direcció i sentit però el mòdul del qual s'ha multiplicat pel factor real. Un altre exemple més purament geomètric són els vectors que representen desplaçaments al pla o en l'espai tridimensional, que també formen un espai vectorial.
Els espais vectorials són l'objecte d'estudi de l'àlgebra lineal i, des d'aquest punt de vista, se'n té una comprensió profunda atès que els espais vectorials es caracteritzen per la seva dimensió que, a grans trets, especifica el nombre de direccions independents a l'espai. La teoria s'amplia introduint en els espais vectorials alguna estructura addicional, com ara una norma o un producte escalar. Aquesta mena d'espais sorgeixen de manera natural en l'anàlisi matemàtica, principalment en la forma d'espais de funcions de dimensió infinita, els vectors dels quals són funcions. Hi ha problemes analítics que requereixen l'habilitat de decidir si una successió de vectors convergeix en un vector donat. Això s'aconsegueix fent servir espais vectorials amb estructures addicionals, principalment espais dotats d'una topologia adequada, que d'aquesta manera permeten definir conceptes de proximitat i continuïtat. Aquests espais vectorials topològics, en particular els espais de Banach i els espais de Hilbert, tenen una teoria més extensa.
Històricament, les primeres idees que condueixen al concepte d'espai vectorial es poden remuntar fins al amb els desenvolupaments de la geometria analítica, les matrius, els sistemes d'equacions lineals, i els vectors euclidians. El tractament modern, més abstracte, va ser formulat inicialment per Giuseppe Peano a finals del ; inclou objectes més generals que l'espai euclidià, però gran part de la teoria es pot veure com una ampliació de les idees geomètriques clàssiques com ara línies rectes, plans i els seus anàlegs de dimensió superior.
Actualment, els espais vectorials s'apliquen a les matemàtiques, la ciència i l'enginyeria. Són la noció algebraica adequada per tractar sistemes d'equacions lineals, ofereixen una estructura per a les sèries de Fourier, que es fan servir en tècniques de compressió d'imatge, o proporciona un entorn que es pot fer servir per tècniques de solució d'equacions diferencials en derivades parcials. A més, els espais vectorials subministren una forma abstracta, independent del sistema de coordenades, per tractar amb objectes geomètrics i físics com tensors, els quals permeten examinar les propietats locals de les varietats per tècniques de linealització. Els espais vectorials també es poden generalitzar de diverses maneres, i això porta a nocions avançades de geometria i àlgebra abstracta.
Definició formal Sigui K un cos (per exemple, el cos dels nombres reals o el cos dels nombres complexos).
Un espai vectorial sobre el cos K és una terna =, on E és un conjunt, + és la suma vectorial (donats elements u, v de E, la seva suma u+v és de E), i ⋅ és el producte per un escalar (donats un escalar a de K i un vector v de E, el seu producte a⋅v és de E) que satisfà les següents propietats:
E amb la suma vectorial forma un grup abelià, és a dir, (E,+) satisfà: (propietat associativa); (el vector nul) tal que (és a dir, 0 és l'element neutre de la suma vectorial); tal que (és a dir, tot element té un oposat respecte a la suma); (propietat commutativa). El producte per un escalar satisfà que: ; Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos K, llavors ; , propietat distributiva del producte per un escalar amb la suma vectorial. .
Els elements de E s'anomenen vectors. En textos impresos de vegades es ressalten en negreta (v), tal com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre () o subratllats (). Els elements de K s'anomenen escalars. Encara que l'espai vectorial sobre K pròpiament dit sigui la terna (E,+,⋅) és molt habitual simplificar la nomenclatura dient directament que E és un espai vectorial sobre K o també un K-espai vectorial.
Aquests axiomes permeten treballar amb la resta de vectors i la divisió d'un vector per un escalar, entenent que:
v − w := v + (−w), v / a := (1 / a) · v.
Contràriament a la intuïció que prové de vectors en el cas de l'espai euclidià pla i de dimensions superiors, en espais vectorials generals no hi ha cap noció de proximitat, angles o distàncies. Per tractar aquestes qüestions, cal introduir tipus particulars d'espais vectorials amb estructures addicionals.
Història Els espais vectorials provenen de la geometria afí, mitjançant la introducció de sistemes de coordenades en l'espai pla o tridimensional. Al voltant de 1636, Descartes i Fermat fundaren la geometria analítica identificant les solucions d'una equació de dues variables amb punts en una corba plana. El 1804, per aconseguir solucions geomètriques sense fer servir coordenades, Bolzano va introduir certes operacions sobre els punts, les línies i els plans que són predecessors de vectors. Aquest treball el van realitzar l'any 1827 fent ús de la concepció de coordenades baricèntriques de Möbius. L'inici de la definició de vectors va ser la noció de Bellavitis del bipunt: un segment orientat, en el qual un dels extrems és l'origen i l'altre el destí. Els vectors es van tornar a considerar amb la presentació dels nombres complexos feta per Argand i Hamilton i la concepció dels quaternions per part d'aquest darrer. Són elements en ℝ² i ℝ4; el fet de tractar-los fent servir combinacions lineals és degut a Laguerre que, el 1867, també va definir els sistemes d'equacions lineals.
El 1857, Cayley presentà la notació matricial que permet una harmonització i simplificació de les aplicacions lineals. A la mateixa època, Grassmann va estudiar el càlcul baricèntric iniciat per Möbius; imaginava conjunts d'objectes abstractes dotats d'operacions. En el seu treball, els conceptes d'independència lineal, dimensió i el de producte escalar ja hi són presents. De fet, el treball de Grassmann de 1844 excedeix l'estructura d'espais vectorials; a partir de la seva multiplicació albira el que actualment s'anomenen àlgebres. Peano, el 1888, va ser el primer a donar la definició moderna d'espais vectorials i aplicacions lineals.
Un desenvolupament important dels espais vectorials és degut a la construcció dels espais funcionals per part de Lebesgue. Aquest desenvolupament va ser formalitzat més tard, al voltant del 1920, per Banach i Hilbert. En aquella època, els especialistes comencen a interaccionar l'àlgebra i el camp nou de l'anàlisi funcional, amb conceptes clau com el d'espais de funcions p-integrables i el d'espais de Hilbert;, també cal incloure el de dimensió infinita, que es consolida en una noció fermament establerta, i moltes branques matemàtiques comencen a fer ús d'aquest concepte.
Exemples Espais de coordenades i espais funcionals El primer exemple d'un espai vectorial sobre un cos F és el mateix cos, proveït amb les seves addició i multiplicació estàndards. Aquest és el cas en què n = 1, en un espai vectorial que normalment es representa com Fn, i es coneix com l'espai de coordenades. Els seus elements són n-tuples (successions de longitud n): (a1, a₂, ..., an), on ai són elements de F. En el cas F = ℝ i n = 2, els vectors són parelles de nombres reals x i y, que es representen (x, y); l'ordre dels components es conserva de tal forma que una parella també s'anomena una parella ordenada. Aquestes parelles formen vectors tot definint, component a component, l'addició de vectors i el producte per un escalar; és a dir: (x1, y1) + (x₂, y₂) = (x1 + x₂, y1 + y₂) i r · (x, y) = (rx, ry).
Les successions infinites de coordenades i, de forma més general, les funcions des de qualsevol conjunt donat Ω en un cos F també formen espais vectorials, definint l'addició i la multiplicació escalar punt a punt. És a dir, la suma de dues funcions ƒ i g ve donada per: (ƒ + g)(w) = ƒ(w) + g(w)
i el mateix succeeix amb la multiplicació. Aquests espais funcionals es donen en moltes situacions geomètriques, quan Ω és la recta real, un interval o altres subconjunts de ℝn. Moltes nocions en topologia i anàlisi, com la continuïtat, la integrabilitat o la derivabilitat respecten la linealitat: les sumes i els productes per un escalar de funcions que posseeixen tal propietat continuen tenint la mateixa propietat.e.g. Per tant, els conjunts formats per aquestes funcions són espais vectorials. S'estudien amb més detall fent servir els mètodes d'anàlisi funcional.Vegeu més avall a l'article Moltes construccions algebraiques també produeixen espais vectorials, un dels exemples més importants n'és l'espai vectorial F[x] dels polinomis, ƒ(x) = r0 + r1x + ... + rn−1xn−1 + rnxn, on els coeficients r0, ..., rn pertanyen a F.
Equacions lineals
Els sistemes d'equacions lineals homogènies estan estretament relacionats amb els espais vectorials. Per exemple, les solucions de
venen donades per ternes amb a arbitrari, b = a/2, i c = −5 a/2. Formen un espai vectorial: les sumes i els productes escalars d'aquestes ternes continuen satisfent les mateixes proporcions entre les tres variables; per tant també són solucions. Les matrius es poden fer servir per condensar múltiples equacions lineals com les d'abans en una equació vectorial, és a dir Ax = 0, on A = és la matriu que conté els coeficients de les equacions donades, x és el vector Ax denota la multiplicació de matrius i 0 = (0, 0) és el vector zero. De manera similar, les solucions dequacions diferencials lineals homogènies formen espais vectorials. Per exemple ƒ''(x) + 2ƒ(x) + ƒ(x) = 0 dona ƒ(x) = a e−x + bx e−x, on a i b són constants arbitràries, i ex és la funció exponencial.
Extensions de cossos Les extensions de cossos F / E ("F sobre E") subministren una altra classe d'exemples d'espais vectorials, de forma particular en àlgebra i en teoria algebraica de nombres: un cos F que conté un cos més petit E esdevé un E-espai vectorial amb les operacions de multiplicació i addició de F. Per exemple el cos ℂ dels nombres complexos és un ℝ-espai vectorial. Un tipus d'extensió de cossos que té un interès particular en teoria de nombres és ℚ(α), l'extensió dels nombres racionals ℚ per un nombre complex fixat α. ℚ(α) és el cos més petit que conté els racionals i el nombre complex fixat α. La seva dimensió com a espai vectorial sobre ℚ depèn de l'elecció de α.
Bases i dimensió
Un vector v de R² (blau) expressat en termes de diferents bases: fent servir la base canònica de R² v = xe1 + ye₂ (negre), i fent servir una base diferent formada per vectors no ortogonals: v = f1 + f₂ (vermell).|miniatura