Laxioma de Pasch és el resultat de la geometria plana usada per Euclides, encara que no pot derivar dels seus postulats. El seu paper axiomàtic va ser descobert per Moritz Pasch. Pasch publicà aquest axioma el 1882 i va mostrar que els axiomes d'Euclides eren incomplets. En altres tractaments de la geometria elemental, l'axioma de Pasch és un teorema que es demostra a conseqüència del postulat de separació del pla. L'axioma de Pasch és diferent del teorema de Pasch. L'axioma enuncia que, en el pla, una recta que intersecta amb una aresta d'un triangle i evita els tres vèrtexs ha d'intersecar amb una de les altres dues arestes.

Enunciat miniatura|Dues línies (en ) que intersecten un costat d'un triangle i els altres costats i

L'axioma afirma queExtret de la traducció d'Unger de la 10a edició dels Grundlagen der Geometrie (Fonaments de Geometria) de Hilbert, i està numerat com II.4.

El fet que la recta a no intersecta alhora els segments AC i BC es demostra en el capítol Supplement I,1, escrit per P. Bernays., la traducció d'Unger.

Una versió més moderna d'aquest axioma és la següent:

(En el cas que el tercer costat sigui paral·lel a la recta inicial, considerem una "intersecció a l'infinit" com a externa.) Encara es pot trobar una versió més informal d'aquest axioma:

Història Pasch publicà aquest axioma l'any 1882, i demostrà que els axiomes d'Euclides eren incomplets. L'axioma era part de l'aproximació de Pasch a la introducció de d'ordre dins de la geometria del pla.

Equivalències En altres tractaments de la geometria elemental, emprant un conjunt diferent d'axiomes, l'axioma de Pasch es pot demostrar com a teorema; és una conseqüència de l'axioma de separació del pla quan es considera com un dels axiomes. Hilbert utilitza l'axioma de Pasch en el seu tractament axiomàtic de la geometria euclidiana.Axioma II.5 en els Fonaments de Geometria de Hilbert (traducció de Townsend), en la traducció a l'anglès autoritzada de la 10a edició per L. Unger està numerat com II.4. Donats els axiomes restants en el sistema de Hilbert, es pot demostrar que l'axioma de Pasch és lògicament equivalent a l'axioma de la separació del pla.Només es necessiten els axiomes de Hilbert I.1,2,3 i II.1,2,3. La demostració està a

Ús de Hilbert de l'axioma de Pasch David Hilbert utilitza l'axioma de Pasch en el seu llibre Fonaments de Geometria, que proporciona una base axiomàtica per a la geometria euclidiana. Depedent de l'edició, es numera com a II.4 o com a II.5.

En el tractament que fa Hilbert, aquest axioma apareix en la secció que fa referència als axiomes d'ordre, i s'hi refereix com a axioma pla d'ordre. Com que no expressa la frase en termes de costats d'un triangle (considerats com a rectes en comptes de segments), no hi ha cap necessitat de parlar sobre interseccions internes i externes de la recta a amb els costats del triangle ABC.

Observacions L'axioma de Pasch és diferent del teorema de Pasch, que és un resultat sobre l'ordre de quatre punts sobre una recta. Tot i això, en la literatura hi ha moltes ocasions en què l'axioma de Pasch es menciona com a teorema de Pasch. Una d'aquestes aparicions és .

Cal no confondre l'axioma de Pasch amb l'axioma de Veblen-Young per a la geometria projectiva, que es pot enunciar com:

No hi ha cap menció a interseccions internes i externes en l'enunciat de Veblen-Young, que només té a veure amb la propietat d'incidència de les rectes que s'intersecten. En geometria projectiva, no és vàlid el concepte de què un objecte estigui entre altres dos (necessari per definir intern i extern), i totes les rectes es tallen (de tal manera que no existeix el problema de les dues rectes paral·leles).

Referències

Bibliografia

(traducció d'Unger)

Enllaços externs

Categoria:Axiomes de la geometria