Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra. Un exemple important d'espai de mesura és l'espai de probabilitat.
Un espai mesurable consisteix en els dos primers components sense una mesura específica.
Definició Un espai de mesura és un triplet on és un conjunt és una -algebra en el conjunt és una mesura en
En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable juntament amb una mesura definit en aquest espai.
Exemples La tripleta on és el conjunt dels nombres reals, la σ-àlgebra boreliana i la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura. Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.
Classes importants d'espais de mesura Les classes més importants d'espais de mesura són definides per les propietats de les seves mesures associades. Això inclou Els espais de probabilitat, espais de mesura on la mesura és una mesura de probabilitat, és a dir, la mesura de l'espai total és 1. Espais de mesura finita, on la mesura és una mesura finita, on la mesura de l'espai total és finita. Espais de mesura -finita, on la mesura és una mesura -finita, és a dir, existeix una família numerable de conjunts tots amb mesura finita, , tals que Sense pèrdua de generalitat es pot prendre la família de conjunts creixent (prenem ) o disjunts dos a dos (prenem i per a .
Espai de mesura complet. En un espai de mesura es diu que un conjunt mesurable és un conjunt nul si . Un subconjunt d'un conjunt nul s'anomena conjunt negligible. Un conjunt negligible pot no ser mesurable, però tots els conjunts negligibles mesurables són conjunts nuls. Es diu que un espai de mesura és complet (o que la mesura és completa) si tot conjunt negligible és mesurable, és a dir, la σ-àlgebra conté tots els subconjunts dels conjunts de mesura zero.
Tot espai de mesura es pot estendre a un espai de mesura complet mitjançant un procediment que s'anomena compleció que consisteix en el següent: definim i per Es comprova
la família de conjunts és una -àlgebra, que òbviament conté . La funció està ben definida i és una mesura que estén , és a dir, si , llavors . L'espai de mesura és complet.
L'espai s'anomena la compleció de l'espai .
Vegeu també Teoria de la mesura
Referències
Categoria:Teoria de la mesura