miniatura|Un rètol de neó, que mostra l'enunciat del teorema de Bayes En la teoria de probabilitat, el teorema de Bayes és una proposició plantejada pel filòsof anglès Thomas Bayes el 1763 que expressa la probabilitat condicional d'un esdeveniment aleatori A donat B en termes de distribució de probabilitat condicional de l'esdeveniment B donat A i la distribució de probabilitat marginal de l'esdeveniment A.

En termes més generals, el teorema de Bayes és de gran rellevància perquè vincula probabilitat de l'esdeveniment A donat B amb la probabilitat de B donat A. Per exemple, sabent la probabilitat de tenir un maldecap si es té la grip, es podria saber (si es disposa d'algunes dades addicionals) la probabilitat de tenir la grip si es té un maldecap.

Història El teorema de Bayes rep el nom de Thomas Bayes, ministre, estadístic i filòsof. Bayes va utilitzar la probabilitat condicional per proporcionar un algoritme (la seva Proposició 9) que utilitza evidència per calcular límits en un paràmetre desconegut. La seva obra es va publicar el 1763 com a Assaig per resoldre un problema en la doctrina de les possibilitats. Bayes va estudiar com calcular una distribució per al paràmetre de probabilitat d'una distribució binomial (en terminologia moderna). Després de la mort de Bayes, la seva família va donar els seus papers a un amic, el ministre, filòsof i matemàtic Richard Price.

Price va editar significativament el manuscrit inèdit durant dos anys abans d'enviar-lo a un amic que el va llegir en veu alta a la Royal Society el 23 de desembre de 1763. Price va editar l'obra principal de Bayes An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763), que va aparèixer a Philosophical Transactions, i que conté el teorema de Bayes. Price va escriure una introducció a l'article que proporciona algunes de les bases filosòfiques de l'estadística bayesiana i va triar una de les dues solucions que Bayes oferia. El 1765, Price va ser elegit membre de la Royal Society en reconeixement del seu treball sobre el llegat de Bayes. El 27 d'abril es va llegir a la Royal Society una carta enviada al seu amic Benjamin Franklin, que posteriorment es va publicar, en què Price aplica aquest treball a la població i al càlcul de les rendes vitalícies..

Independentment de Bayes, Pierre-Simon Laplace va utilitzar la probabilitat condicional per formular la relació d'una probabilitat posterior actualitzada a partir d'una probabilitat prèvia, donada l'evidència. Va reproduir i ampliar els resultats de Bayes el 1774, aparentment desconeixent el treball de Bayes, i va resumir els seus resultats a Théorie analytique des probabilités (1812). La interpretació bayesiana de la probabilitat va ser desenvolupada principalment per Laplace.

Uns 200 anys més tard, Sir Harold Jeffreys va establir l'algoritme de Bayes i la formulació de Laplace sobre una base axiomàtica, escrivint en un llibre de 1973 que el teorema de Bayes és a la teoria de la probabilitat el que el teorema de Pitàgores és a la geometria.

Stephen Stigler va utilitzar un argument bayesià per concloure que el teorema de Bayes va ser descobert per Nicholas Saunderson, un matemàtic anglès cec, algun temps abans de Bayes, però això és controvertit. F. Thomas Bruss va fer una ressenya de l'obra de Bayes Un assaig per resoldre un problema en la doctrina de l'atzar, tal com la va comunicar Price. Va estar d'acord amb l'anàlisi de Stigler en molts punts, però no en la qüestió de la prioritat. Bruss va subratllar la part intuïtiva de la fórmula de Bayes i va afegir arguments independents sobre la probable motivació de Bayes per al seu treball. Va concloure que, llevat que es demostri el contrari, el nom teorema de Bayes o fórmula de Bayes és justificable.

Martyn Hooper i Sharon McGrayne han argumentat que la contribució de Price va ser substancial:

El factor de Bayes o verosimilitud que apareix en escriure el teorema de Bayes en forma de probabilitats apareix a l'obra d’Alan Turing de principis de la dècada del 1940, que el va anomenar el factor a favor d'una proposició. El 1878, Charles Sanders Peirce va utilitzar el logaritme d'aquest factor com a pes de l'evidència per a una proposició.

Teorema Sigui un conjunt finit o infinit numerable d'esdeveniments mútuament exclusius i exhaustius, i tals que la probabilitat de cada un és diferent de zero, és a dir,

Si ,

Sigui un esdeveniment qualsevol amb del qual es coneix la probabilitat condicionada . Llavors, la probabilitat és donada per l'expressió:

Aquesta fórmula permet calcular la probabilitat condicional a partir de la probabilitat condicional i s'anomena fórmula d'inversió de condicions.

Prova. S'aplica dos cops la definició de probabilitat condicionada:

Fórmula de Bayes Aplicant el teorema de les probabilitat totals s'obté la fórmula o regla de Bayes:

Les probabilitats s'anomenen les probabilitats a priori; és la probabilitat de donada la hipòtesi . Les probabilitats s'anomenen probabilitats a posteriori. Aquesta fórmula permet calcular la probabilitat a posteriori a partir de les probabilitats a priori i de les probabilitats de sota les diferents hipòtesis: La fórmula ha originat moltes especulacions filosòfiques i controvèrsies.Teoría moderna de probablidades y sus aplicaciones de Emanuel Parzen. Limusa Grupo Noriega Edidores,

Formes alternatives del teorema de Bayes Teorema de Bayes per a funcions de densitat de probabilitat Existeix una versió del teorema de Bayes que pot aplicar-se a variables aleatòries contínues. Derivar aquesta forma del teorema és més complex matemàticament, però l'expressió del teorema és tan senzilla com la presentada anteriorment:

També podem expressar el teorema de la següent manera:

La nomenclatura és la següent: f(x, y) és la funció de densitat conjunta de X i Y, f(x|y) és la densitat de X condicional a Y=y (de vegades també anomenada com a distribució a posteriori de X), f(y|x) =  i f(x) i f(y) són les funcions de densitat marginals d'X i Y respectivament (de vegades f(x) s'anomena la distribució a priori d'X).

En la nomenclatura anterior s'abusa lleugerament de la notació, donat que s'empra emprat f per a tots aquests termes, tot i que cadascun en realitat és una funció diferent. Les funcions es poden distingir fàcilment pel nom dels seus arguments.

Teorema de Bayes emprant derivades de Radon-Nykodim Existeix una versió general del teorema de Bayes que és vàlid per variables aleatòries contínues i discretes, així com per qualsevol dues variables per les quals disposem de la derivada de Radon-Nykodim de la seva distribució de probabilitat respecte a una mesura sigma-finita.

Sigui la mesura de probabilitat de X, una mesura sigma-finita que domina a , i anomenem a la derivada de Radon-Nykodim de respecte a . Definim de forma anàloga , i . Considerem la mesura de probabilitat conjunta per a (X,Y), que està dominada per la mesura producte , i anomenem . Aleshores la derivada de Radon-Nykodim de la mesura de probabilitat de X condicional a la sigma-algebra originada per, , satisfa:

.

Si tant X com Y són variables aleatòries discretes, aquesta fórmula és equivalent a la versió original del teorema de Bayes. Si tant X com Y són variables aleatòries contínues, aquesta fórmula és equivalent a la versió del teorema per a funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Tanmateix, aquesta versió és més general i pot aplicar-se, per exemple, quan X és contínua i Y és discreta.

Aquesta versió del teorema pot generalitzar-se en cas de tenir més de dues variables aleatòries. De fet, la generalització és directa: tan sols cal considerar que X i Y són vectors aleatoris en lloc de variables aleatòries. Com que les versions presentades anteriorment són casos particulars, també es poden generalitzar de forma directa en cas de tenir més de dues variables aleatòries.

Exemples Càncer als 65 anys Suposem que es vol saber la probabilitat de tenir càncer d'una persona de qui no es disposa cap informació. Tot i no saber res sobre la persona, se li pot assignar una probabilitat basant-se en la prevalència general del càncer (en aquest exemple, aquesta probabilitat és suposada de l'1%). Aquesta probabilitat és la probabilitat a priori de tenir càncer, on priori fa referència al temps previ al plantejament del cas particular.

A continuació, suposem que es descobreix que la persona té 65 anys. Si assumim que el càncer i l'edat són fenòmens relacionables, aquesta informació nova pot utilitzar-se per avaluar la probabilitat de tenir càncer. Concretament, volem obtenir la probabilitat que una persona tingui càncer quan se sap que té 65 anys. Aquesta quantitat es coneix com la probabilitat actual, on actual fa referència al moment en què es descobreix aquesta nova informació. Per a aplicar el coneixement d'aquesta nova informació en conjunció amb el teorema de Bayes, són necessàries dues dades addicionals, les quals no són específiques d'aquesta persona. La informació necessària és: La probabilitat de tenir 65 anys. Suposem que és del 0,2%. La probabilitat que una persona amb càncer tingui 65 anys. Suposem que és del 0,5%. Amb aquesta informació i la probabilitat base es pot calcular la probabilitat que una persona que té 65 anys tingui càncer:

Tot i tenir 65 anys, la probabilitat és relativament baixa, ja que la probabilitat base (prevalència) del càncer és baixa. Això il·lustra tant la importància de la probabilitat base, fet que a vegades fa que es neglecti. Ometre la probabilitat base té com a conseqüència la malinterpretació d'estadístiques. La familiarització amb el teorema de Bayes és una manera de combatre la tendència natural de negligir les probabilitats base.

Proves de drogues Suposem que una prova concreta per saber si algú ha estat consumint una droga (per exemple, la substància D) té una sensibilitat del 99%, és a dir, que la taxa de veritables positius (TPR) és de 0,99. La prova té un 99% de resultats veritablement positius (identificació correcta del consum de drogues) per a consumidors de drogues. La prova també té una especificitat del 99%, és a dir, que la seva taxa negativa veritable (TNR) = 0,99. Per tant, la prova identifica correctament el 99% de la no-utilització per als no usuaris, però també genera un 1% de falsos positius, o una taxa de falsos positius (FPR) = 0,01, per als no usuaris. Suposant que el 0,3% de les persones consumeixen la droga, el teorema de Bayes dóna la probabilitat que una persona aleatòria que doni positiu sigui una consumidora de drogues:

En conseqüència, tot i que la prova de drogues té una precisió del 99%, la majoria dels seus resultats positius seran falsos.

Ús El teorema de Bayes és vàlid en totes les aplicacions de la teoria de la probabilitat. No obstant, existeix controvèrsia sobre el tipus de probabilitats que fa servir. En essència, els acadèmics de l'estadística tradicional admeten probabilitats basades en experiments repetibles i avalats per una confirmació empírica únicament, mentre que els anomenats estadistes bayesians treballen també amb probabilitats subjectives. El teorema pot utilitzar-se per indicar com han de modificar-se les probabilitats subjectives quan es disposa d'informació addicional d'un experiment.

Aplicacions Una aplicació quotidiana del teorema de Bayes són els classificadors bayesians són els filtres de correu brossa. Els classificadors bayesians són emprats en l'aprenentatge automàtic i la mineria de dades.

Referències

Aquest article incorpora text d'una publicació que ara és de domini públic: Mitchell, John Malcolm (1911). «Price, Richard». A Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica. Vol. 22 (11a ed.). Cambridge University Press. pàg. 314–315.

Bibliografia

Bayes Categoria:Probabilitat