Un trapezi és un quadrilàter simple i convex amb com a mínim dos costats paral·lels. Aquests costats paral·lels s'anomenen les bases del trapezi, i els costats no paral·lels (si n'hi ha) són els costats o arestes laterals.
Els costats paral·lels reben el nom de bases del trapezi. Els altres dos costats es diuen cames o costats laterals. Si el trapezi és un paral·lelogram, llavors la distinció entre les bases i les cames és arbitrària.
Un trapezi es considera normalment un polígon convex quadrilàter en geometria euclidiana, però també hi ha casos de polígons creuats. Sigui ABCD un trapezi convex, llavors ABDC és un trapezi creuat. Les fórmules mètriques en aquest article apliquen a trapezis convexos.
Definicions Un trapezi es pot definir exclusivament o inclusiva. En la definició exclusiva, un trapezi és un quadrilàter que té parella de costats paral·lels, sent l'altre parella de costats oposats no paral·lels. Els altres paral·lelograms, com ara els rombes, els rectangles, i els quadrats no es consideren per tant trapezis. Seguint la definició inclusiva, un trapezi és qualsevol quadrilàter amb una parella de costats paral·lels. Seguint aquest esquema de classificació inclusiva, les definicions són jeràrquiques: un quadrat és un tipus de rectangle i un tipus de rombe, un rectangle o un rombe és un tipus de paral·lelogram, i tot paral·lelogram és un tipus de trapezi. També es pot definir un trapezi com tot quadrilàter que no és un paral·lelogram; aquesta definició és també exclusiva i s'utilitza en els Elements d'Euclides.
Els matemàtics professionals i els llibres de text de geometria de secundària gairebé sempre prefereixen les definicions i classificacions inclusives, perquè simplifiquen les afirmacions i les demostracions de teoremes geomètrics. En educació primària i secundària, les definicions de rectangle i paral·lelogram són també gairebé sempre inclusives, però sovint s'hi troba una definició exclusiva de trapezi. Aquest article utilitza la definició inclusiva i considera els paral·lelograms com a casos particulars de trapezis.
Per evitar la confusió, algunes fonts utilitzen el terme trapezi propi per descriure els trapezis amb exactament una parella de costats paral·lels, de forma anàloga a altres usos de la paraula propi en altres objectes matemàtics.
Classificació Els trapezis solen classificar-se segons diversos criteris, en general no excloents.
Segons els angles miniatura|Trapezis segons els seus angles: rectangle, acutangle i obtusangle. Un trapezi té quatre angles interiors, la suma dels quals és sempre 2π (i.e. 360°).
Si té dos angles rectes adjacents, s'anomena trapezi rectangle. Si té un tercer angle també recte, aleshores el quart angle també ho és i el trapezi és un rectangle. Si té dos angles obtusos no adjacents (i, per tant, també dos angles aguts no adjacents), s'anomena trapezi obtusangle. Si té dos angles aguts adjacents (i com a resultat també dos angles obtusos adjacents), s'anomena trapezi acutangle. En aquest cas, els angles aguts sempre seran a banda i banda de la base major del trapezi i els obtusos a banda i banda de la base menor.
Segons els costats Si no hi ha cap parell de costats de la mateixa longitud, s'anomena trapezi escalè. Si els dos costats no paral·lels tenen la mateixa longitud, s'anomena trapezi isòsceles. En aquest cas, els seus angles són iguals dos a dos (els dos angles d'una mateixa base són iguals entre ells). A més, les seves dues diagonals tenen la mateixa longitud. Els trapezis isòsceles són sempre acutangles. El grup de simetria d'un triangle isòsceles és sempre el grup diedral D₂.miniatura|Trapezoide tangencial. El dibuix mostra la circumferència inscrita (línia discontínua), els vèrtexs, els punts de tangència i l'incentre. Un trapezi tangencial seria semblant. En particular, si un tercer costat té la mateixa longitud que els costats paral·lels s'anomena trapezoide trisòsceles o trapezoide trilateral. Si tots els seus costats són iguals, és un quadrat.
Altres classificacions Si el trapezi té els seus costats paral·lels dos a dos, s'anomena paral·lelogram. Si existeix una circumferència inscrita al trapezi (és a dir, una circumferència tangent a tots els costats del trapezi) s'anomena trapezi tangencial.
Caracterització Donat un quadrilàter convex Q, les següents afirmacions són equivalents:
Q és un trapezi. Q té dos angles adjacents que són suplementaris. L'angle entre un costat i una diagonal és igual a l'angle entre el costat oposat i la mateixa diagonal. Traçant les dues diagonals de Q, els dos triangles que no tenen cap dels costats en un dels costats paral·lels de Q tenen la mateixa àrea. El producte de les àrees dels triangles formats en partir Q per una diagonal és independent de la diagonal triada. Siguin T1 T₂ dos triangles oposats d'entre els obtinguts en tallar Q per les dues diagonals. Es compleix El punt mitjà de cadascun de dos costats oposats i el punt de tall de les diagonals estan alineats. Siguin α, β, γ i δ els quatre angles interiors de Q de manera que α i γ són oposats, es compleix La suma dels cosinus de dos angles adjacents és zero, i la suma dels cosinus dels dos altres angles adjacents també és zero. La suma de les cotangents de dos angles adjacents és zero, i la suma de les cotangents dels dos altres angles adjacents també és zero. Existeix una bimediana que parteix Q en dos quadrilàters d'àrees iguals.
Mesures elementals Donat un trapezi de bases i , amb , i costats laterals i , es tenen els valors següents: L'altura es pot calcular com:
L'àrea es pot trobar a partir de la fórmula:
La longitud del segment mitjà del trapezi (el segment que uneix els punts mitjans dels costats laterals, i que, per tant, és paral·lel a les bases) es calcula amb la fórmula següent:
El baricentre o centre de massa del trapezi de bases està situat en el segment que uneix els punts mitjans de les seves bases, a una distància perpendicular expressada per:
Diagonals Donat un trapezi de bases i , amb , i de costats laterals i . Les longituds de les seves diagonals són:
A més, sigui la intersecció entre les dues diagonals, siguin i els vèrtexs d'una de les bases i siguin i els vèrtexs de l'altra es compleix sempre que:
Amb la mateixa nomenclatura de punts esmentada, sigui el segment inscrit al trapezi i paral·lel a les bases que passa per , es compleix que la longitud de és la mitjana harmònica dels costats laterals, és a dir que
Aplicacions Diversos fenòmens i formes de la natura són modelitzables a partir d'un trapezi. A més, el trapezi es fa servir àmpliament en enginyeria i arquitectura. D'entre les aplicacions esmentades en destaquen, per àrea, les següents:
Arquitectura miniatura|El Temple de Dendur, conservat al Metropolitan Museum of Art de Nova York. En arquitectura, el terme es fa servir per referir-se a portes, finestres i edificis simètrics construïts més amples a la base, afilant-se cap a la part superior, a l'estil egipci. Si aquests tenen costats rectes i cantonades angulars, les seves formes solen ser trapezis isòsceles. Aquesta forma apareix ja en l'arquitectura de l'Antiguitat, i era per exemple l'estil estàndard per a les portes i finestres de l'arquitectura inca.
Astronomia El cúmul del Trapezi, al centre de la nebulosa d'Orió, que pren el nom de l'asterisme de quatre estrelles relativament brillants que conté —en una forma que recorda a un trapezi.
Biologia Més enllà dels usos en anatomia ja esmentats, àrees de la biologia com la morfologia, la taxonomia i altres disciplines descriptives usen el terme en situacions diverses. En taxonomia en trobem com a exemples la subfamília dels trapezitins, el gènere dels trapezites o la família trapèzids. En morfologia, elements com el protòrax d'alguns insectes es presenten en formes similars a trapezis.
Enginyeria En enginyeria, i especialment en arquitectura de computadors, els trapezis s'empren per a representar els multiplexors.
Teoria de nombres En la branca matemàtica de la teoria de nombres s'anomenen nombres trapezoïdals aquells nombres naturals que es poden escriure com la suma de dos o més nombres naturals majors que u.
Plaça del Capitoli de Roma Els trapezis de l'exterior de l'elipse central, semble rectangles a peu de carrer. Una vista aèria confirma la forma trapezial. Algunes opinions destaquen la forma trapezial de la mateixa plaça.
Caligarisme Els decorats pintats del film El gabinet del Dr. Caligari mostren formes trapezials. La distorsió de la realitat reforça un ambient oníric i de terror desitjat.
Perspectiva Les formes quadrades o rectangulars semblen trapezis vistes en perspectiva.
Veles d’un aparell caire o rodó La majoria de les veles rodones dels vaixells amb aparells en creu tenen forma (molt aproximadament) trapezial. </center>
Referències
Bibliografia
Categoria:Quadrilàters