miniatura|Una pàgina del llibre d'Al-Khwarizmi que va donar nom a l'àlgebra
Làlgebra és una de les principals branques de les matemàtiques juntament amb la geometria, l'anàlisi i la teoria de nombres. L'àlgebra es pot considerar com una generalització i extensió de l'aritmètica. El terme prové de l'àrab al-jabr (الجبر) i significa "restauració", i és part del títol d'un tractat de l'any 830 escrit pel matemàtic persa Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí: Al-Kitab al-muhtasar fi hirab al-jabr wa-l-muqabala ("Llibre condensat del càlcul per restauració i reducció").
El camp pot dividir-se temptativament en: Àlgebra elemental. Això inclou, entre d'altres, l'ús de símbols, conjunts, variables, la definició d'expressions matemàtiques com ara funcions o polinomis i la seva factorització (determinació de les seves arrels). Aquest últim problema, més conegut com a resolució d'equacions polinomials, se sol considerar l'objectiu final de l'àlgebra clàssica, i de fet el teorema fonamental de l'àlgebra en garanteix la factibilitat. Àlgebra computacional, on es recullen els algorismes per a la manipulació d'objectes matemàtics. Àlgebra abstracta, també anomenada a vegades àlgebra moderna, on es defineixen axiomàticament, entre d'altres, les estructures algebraiques de grup, anell i cos. Inclou, entre altres: Àlgebra lineal, on s'estudien les propietats específiques dels espais vectorials (incloent matrius). Àlgebra universal, on s'estudien de forma general els sistemes formats per un conjunt i una col·lecció d'operacions sobre ell. Geometria algebraica, que combina l'àlgebra abstracta amb la geometria.
Història miniatura|Segell emès l'any 1983 a la Unió Soviètica, en commemoració (aproximada) del 1200è aniversari d'al-Khwarazmí. miniatura|George Boole Tot i que la paraula "àlgebra" ve de la paraula àrab (al-jabr, الجبر)), els seus orígens es troben a l'antiga Babilònia,Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. on es va desenvolupar un sistema aritmètic avançat amb què podien fer càlculs d'estil algebraic. Fent servir aquest sistema eren capaços d'aplicar fórmules i calcular les solucions per a valors desconeguts per a una classe de problemes que avui típicament es resolen emprant equacions lineals, equacions quadràtiques, i equacions lineals indeterminades. En canvi, la majoria de matemàtics egipcis d'aquesta era, i molts matemàtics indis, grecs i xinesos durant el primer mil·lenni a. C., normalment resolien aquestes equacions per mètodes geomètrics, com els que es descriuen al papir Rhind, el Sulba Sutras, els Elements d'Euclides, i a Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术). El treball geomètric dels grecs, com en el cas clàssic dels Elements, proporcionava l'estructura per generalitzar fórmules més enllà de la solució de problemes particulars a sistemes generals d'establir i resoldre equacions.
Els matemàtics grecs Heró d'Alexandria i Diofant continuaren les tradicions d'Egipte i Babilònia, però el llibre de Diofant Arithmetica és d'un nivell molt més alt.History of Algebra Posteriorment, els matemàtics àrabs i musulmans van desenvolupar mètodes algebraics amb un grau molt més alt de sofisticació. Encara que el Diofant i els babilonis feien servir principalment mètodes especials ad hoc per resoldre equacions, Al-Khwarazmí va ser el primer a resoldre equacions fent servir mètodes generals. Va resoldre les equacions indeterminades lineals, equacions quadràtiques, equacions indeterminades de segon ordre i equacions amb múltiples variables.
Al-Khuwarizmí va escriure dos llibres fonamentals per l'àlgebra: A Kitab al-jam'wal tafriq bi hirab al-Hind ("Llibre de la suma i de la resta segons el mètode dels hindús") va proposar una nova forma d'operar a la tradicional de l'àbac, i va costar molt que s'acceptés. El mètode és el que s'utilitza avui en dia per ensenyar els nens a sumar: per tal de sumar , es col·loquen els dos nombres un a sota l'altre i se sumen, primer les unitats, després les desenes. Al llibre esmentat anteriorment, Al-Kitab al-muhtasar fi hirab al-Jabr wa-l-muqabala ("Llibre condensat del càlcul per restauració i reducció") es proposen dues tècniques, que serien la base de l'àlgebra: al-jabr (restaurar) era recol·locar les coses "correctament", és a dir, si per exemple es tenia l'equació , s'havia de passar a . L'altra operació, al-muqabala (reduir) consistia a treure quantitats iguals: si per exemple, es tenia , aquesta equació era equivalent a .Les explicacions es posen segons la notació actual per tal que resultin comprensibles, però cal tenir en compte que tota la matemàtica es plantejava i resolia de manera retòrica fins al
A la paraula "àlgebra" ve de la paraula Àrab "al-jabr, الجبر", del títol del llibre al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, que vol dir Llibre condensat del càlcul per restauració i reducció, el 820. La paraula Al-jabr significa "reunió". El matemàtic Diofant s'ha conegut tradicionalment com el "pare d'àlgebra" però en temps més recents hi ha hagut molt debat sobre si Al-Khwarizmí, que va fundar la disciplina d'al-jabr, és qui mereix aquest títol.Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), pages 178, 181 Aquells que donen suport a Diofant senyalen el fet que l'àlgebra que es troba a Al-Jabr és lleugerament més elemental que l'àlgebra que es troba en Arithmetica i que Artihmetica està sincopada mentre que Al-Jabr és completament retòricaCarl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228 Els que donen suport a Al-Khwarizmi senyalen el fet que introduïa els mètodes de "reducció" i "equilibratge" (la transposició de termes restant a l'altre costat d'una equació, és a dir, la cancel·lació de termes iguals en els dos costats de l'equació) que és ço a què originalment es referia el terme al-jabr,"It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" - that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation." i que va donar una explicació exhaustiva de com solucionar equacions quadràtiques, "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions." suportades per demostracions geomètriques, mentre que tracta l'àlgebra com una disciplina independent per dret propi.Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers". La seva àlgebra a més ja no consistia en "una sèrie de problemes per ser resolts, sinó una exposició que comença amb termes primitius tals que les seves combinacions han de donar tots els possibles prototipus d'equacions, els quals, a partir d'aquí constitueixen explícitament el veritable objecte d'estudi." També estudiava les equacions per si mateixes i "amb una conducta genèrica, en la mesura que no emergeix simplement durant la resolució d'un problema, sinó que es busca específicament definir una classe infinita de problemes."
El matemàtic persa Omar Khayyam va desenvolupar geometria algebraica i va trobar la solució geomètrica general de l'equació cúbica. Un altre matemàtic persa, Xàraf-ad-Din at-Tussí, va trobar solucions algebraiques i numèriques de diversos casos d'equacions cúbiques. També va desenvolupar el concepte de funció. El matemàtic català Savasorda és el primer a donar la fórmula que soluciona de manera completa l'equació de segon grau.Llibre de Geometria, Abraham Bar Hiia (Savasorda), Biblioteca Hebraico-Catalana, , traduït i comentat per Josep Maria Millàs i Vallicrosa, pàgina 39 Els matemàtics indis Mahavira i Bhaskara II, el matemàtic persa Al-Karají, "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. […] His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus - but without Diophantine analysis! […] In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered)," i el matemàtic xinès Zhu Shijie, va resoldre diversos casos de cúbiques, quàrtiques, quíntiques i equacions polinòmiques d'orde superior fent servir mètodes numèrics.
La manipulació algebraica de polinomis i equacions polinòmiques emprant llistes ordenades de coeficients es troba per primera vegada a la història al manuscrit 71 del Monestir de Sant Cugat escrit entre el 1500 i el 1530. És un tractat d'aritmètica i àlgebra escrit en català per un autor anònim però s'atribueix amb molta probabilitat al matemàtic mallorquí Joan Ventallol.Reading Luca Pacioli's Summa in Catalonia: An early 16th-century Catalan manuscript on algebra and arithmetic Javier Docampo Rey, Historia Mathematica 33 (2006) 43–62
Un altre esdeveniment clau en el posterior desenvolupament de l'àlgebra va ser la solució algebraica general de les equacions cúbiques i quàrtiques, desenvolupades a mitjans del . El concepte de determinant va ser desenvolupada pel matemàtic japonès Kowa Seki al , seguit per Gottfried Leibniz deu anys més tard, a l'efecte de resoldre sistemes d'equacions lineals simultànies fent servir matrius. Gabriel Cramer també va fer alguns treballs sobre matrius i determinants al . L'àlgebra abstracta es desenvolupava al , inicialment centrant-se en el que ara s'anomena ara teoria de Galois, i en assumptes de nombres construïbles.
Àlgebra elemental
En làlgebra elemental, els nombres es representen emprant símbols (com ara a, x, o y). Això és útil perquè: Permet la formulació general de les lleis de l'aritmètica (com ara a + b = b + a per a tot a i b) i, per tant, és un primer pas per l'estudi sistemàtic de les propietats dels nombres. Permet fer referència a nombres "desconeguts" (o "incògnits" anomenats incògnites), això permet la formulació d'equacions i l'estudi dels mètodes de resolució (per exemple, "Trobeu un nombre x tal que 3x + 1 = 10"). Permet fer referència a nombres que en formular-se un problema seran coneguts però en estudiar-lo es tracten de manera genèrica. Els símbols que representen aquest nombres se'n diu constant. Per exemple "per calcular l'ingrés que s'obté en vendre x quilos de tomates a un preu constant p s'aplica la fórmula px". El fet d'emprar símbols per representar variables i constants permet la formulació de funcions matemàtiques (com ara "Si es revenen x entrades per una partit del Barça, llavors el benefici serà 30x − 10 euros, o f(x) = 30x − 10, on f és la funció que a cada nombre d'entrades venudes li fa correspondre el nombre d'euros de benefici obtingut, x és el nombre al que s'aplica la funció.").
Equacions
Una equació és una igualtat entre expressions matemàtiques que només és certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment incògnites. Els valors que poden prendre les incògnites que fan que l'expressió sigui certa s'anomenen solucions de l'equació i solucionar una equació vol dir trobar aquests valors.
Les solucions que té (o admet) una determinada equació depenen de l'equació i del conjunt al que han de pertànyer els elements representats per les incògnites. Per exemple, l'equació: