miniatura|Relació del bucle amb altres estructures algebraiques a partir de les propietats de la seva llei de composició interna, en anglès. En matemàtiques, un bucle o llaç és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna amb element neutre i on tot element té un element invers. Un bucle és doncs, un magma amb divisibilitat i element neutre.

Amb altres paraules, és un bucle si: (llei de composició interna). (element neutre). Noteu que l'element neutre és únic i bilàter. (existència d'element simètric). Per a cada x existeix un únic element simètric per l'esquerra, , i un únic element simètric per la dreta, . Noteu que el simètric per l'esquerra pot ser diferent al simètric per la dreta.

Si el bucle és associatiu aleshores queda garantit que , i l'element simètric és bilàter i únic per a cada x, amb la qual cosa tenim un grup.

Exemples Els nombres enters amb la subtracció són un bucle. Els nombres racionals diferents de zero (ℚ*) amb la divisió són un bucle. Els nombres reals diferents de zero (ℝ*) amb la divisió són un bucle. Sigui S un conjunt amb els següents elements i sigui una operació interna en S. A la taula següent es mostren els resultats d'operar tots els elements entre ells amb , on la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna l'operand per la dreta: +abcdefabdecfabeadfcbcdefbacdcfaebdefcbadefabcdef El conjunt S amb aquesta operació són un bucle:

L'operació és una llei de composició interna Tots els elements d'arribada són també elements en S.

Existeix un element neutre L'element neutre del conjunt és f, ja que per a qualsevol element n del conjunt es compleix que .

Existeix un element invers per a tots els elements del conjunt L'element invers i és aquell element el qual, sent operat per l'esquerra i per la dreta amb un element qualsevol n dins de S, dona com a resultat l'element neutre, que en el cas d'aquest conjunt és f. Com es pot apreciar a la taula, tots els elements del conjunt tenen un invers per les dues bandes.

L'operació no és associativa en el conjunt Això es pot verificar amb el següent exemple: . Al costat esquerre es té, per una banda, que el resultat d'operar b amb c és e i que . Al costat dret, per altra banda, es té que i que . Per tant, aquesta operació no és associativa en S.

La divisió és sempre possible Ja que, per a dos elements n i m qualssevol en S, es compleix que existeix un divisor x per l'esquerra i un divisor y per la dreta tals que . Podem comprovar que la divisió és sempre possible verificant que totes les files i columnes tinguin els sis elements del conjunt sense repetir-se, ja que això indica que es pot obtenir qualsevol element m operant qualsevol n del conjunt amb un divisor per l'esquerra i altre per la dreta.

Vegeu també Grup, bucle amb associativitat. Quasigrup, bucle sense element neutre.

Bibliografia

Categoria:Estructures algebraiques