miniatura|Símbol per al conjunt buit miniatura|upright=0.6|Una altra notació per al conjunt buit (aquell que no conté cap element). El conjunt buit és el conjunt matemàtic que no té cap element. Se'l representa pel símbol ∅ () o ø, Ø (), i també per la notació {}. Algunes de les seves propietats són:
Per a tot conjunt A, el conjunt buit és subconjunt dA: : ∀A: ∅ ⊆ A Per a tot conjunt A, la unió dA amb el conjunt buit és A: : ∀A: A ∪ ∅ = A Per a tot conjunt A, la intersecció dA amb el conjunt buit és el conjunt buit: : ∀A: A ∩ ∅ = ∅ Per a tot conjunt A, el producte cartesià d'''A i el conjunt buit és buit: : ∀A: A × ∅ = ∅ L'únic subconjunt del conjunt buit és el mateix conjunt buit: : ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ El nombre d'elements del conjunt buit (la seva cardinalitat) és zero: : card(∅) = 0 Per a qualsevol propietat: per a tot element del conjunt buit ∅ es compleix la propietat no hi ha cap element del conjunt buit ∅ per al qual es compleixi la propietat A més a més, si per a qualsevol propietat es compleix que: per a tot element de V es compleix la propietat no hi ha cap element de V per al qual es compleixi la propietat aleshores V = ∅
Notació miniatura|upright=0.6|Un símbol que representa el conjunt buit Notacions habituals per al conjunt buit inclouen "{ }", "", i "∅". Els dos darrers símbols van ser introduïts pel grup Bourbaki (especialment per André Weil) l'any 1939, inspirats per la lletra Ø () en els alfabets danès i noruec. En el passat, "0" (el numeral zero) s'utilitzava ocasionalment com a símbol del conjunt buit, però avui en dia es considera un mal ús de la notació.
El símbol ∅ es pot trobar a Unicode . Es pot codificar a HTML com a i com a o com . Es pot escriure a LaTeX com . El símbol es codifica a LaTeX com .
Quan s'escriu en idiomes com el danès o el noruec, en què el caràcter del conjunt buit es pot confondre amb la lletra alfabètica Ø (així com quan s'utilitza el símbol en lingüística), el caràcter d'Unicode es pot usar en el seu lloc.e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
Propietats En la teoria axiomàtica de conjunts estàndard, en virtut de l'axioma d'extensionalitat, dos conjunts són iguals si tenen els mateixos elements (és a dir, cap d'ells té un element que no estigui en l'altre conjunt). Com a resultat, només hi pot haver un conjunt sense elements, per tant, s'utilitza l'expressió "el conjunt buit" i no "un conjunt buit".
L'únic subconjunt del conjunt buit és el conjunt buit mateix; o cosa que és el mateix, el conjunt potència del conjunt buit és el conjunt que només conté el conjunt buit. El nombre d'elements del conjunt buit (és a dir, la seva cardinalitat) és zero. El conjunt buit és l'únic conjunt que té qualsevol de les següents propietats.
Per tot conjunt A: El conjunt buit és un subconjunt dA La unió dA amb el conjunt buit és A La intersecció dA amb el conjunt buit és el conjunt buit El producte cartesià de A i el conjunt buit és el conjunt buit
Per tota propietat P: Per tot element de , la propietat P és vàlida (veritat vàcua o buida). No hi ha cap element de pel qual la propietat P sigui vàlida.
De manera similar, si, donada una propietat P i un conjunt V, les següents dues afirmacions són vàlides: Per tot element de V la propietat P és certa No hi ha cap element de V pel qual la propietat P sigui certa, llavors
A partir de la definició de subconjunt, el conjunt buit és un subconjunt de qualsevol conjunt A. És a dir, element x de pertany a A. En efecte, si no fos cert que tot element de es trobés en A, llavors hi hauria almenys un element de que no estaria present en A. Com que hi ha cap elements en , no hi ha cap element de que no es trobi en A. Qualsevol afirmació que comenci per "per tot element de " no està fent cap afirmació substantiva; es tracta d'una veritat vàcua. Sovint es parafraseja aquest fet dient "tot és cert en referència als elements del conjunt buit."
En l'habitual definició dels nombres naturals segons la teoria de conjunts, el zero es modela mitjançant el conjunt buit.
Operacions en el conjunt buit Quan es parla de la suma dels elements del conjunt finit, es tendeix a concloure que la suma dels elements del conjunt buit (la suma buida) és zero. La raó d'això és que zero és l'element neutre de la suma. Similarment, s'hauria de considerar que el producte dels elements del conjunt buit (el producte buit) és u, ja que u és l'element neutre de la multiplicació.
Un desarranjament és una permutació d'un conjunt sense punts fixos. El conjunt buit es pot considerar un desarranjament d'ell mateix, perquè és l'única permutació (), i és veritat -vàcuament- que no es pot trobar cap element (del conjunt buit) que mantingui la seva posició original.
Existència Qüestions històriques En el context de conjunts i nombres reals, Cantor va utilitzar per a denotar " no conté cap punt". Aquesta notació va ser usada en definicions; per exemple, Cantor va definir dos conjunts disjunts com aquells la intersecció dels quals té una absència de punts; no obstant això, és discutible si Cantor veia com a conjunt existent per si sol, o si Cantor simplement feia servir com a predicat de buidor. Zermelo va acceptar com a conjunt en si, però el va considerar un "conjunt impropi".A. Kanamori, "The Empty Set, the Singleton, and the Ordered Pair", p.275. Bulletin of Symbolic Logic vol. 9, no. 3, (2003). Accessed 21 August 2023.
Teoria axiomàtica de conjunts En la teoria de conjunts de Zermelo, l'existència del conjunt buit és expressada per l'axioma del conjunt buit, i la seva unicitat segueix de l'axioma d'extensionalitat. Tanmateix, es pot demostrar que l'axioma del conjunt buit és redundant, pel cap baix, de dues maneres diferents: La lògica de primer ordre estàndard implica, merament a partir dels axiomes lògics, que existeix, i en llenguatge de la teoria de conjunts, tal cosa ha de ser un conjunt. D'aquí, l'existència del conjunt buit és una conseqüència directa dels axiomes de separació. Fins i tot utilitzant la lògica lliure (que no implica lògicament que alguna cosa existeixi), ja hi ha un axioma que implica l'existència de com a mínim un conjunt, en particular l'axioma de l'infinit.
Qüestions filosòfiques Així com el conjunt buit és un concepte matemàtic acceptat de forma àmplia i estàndard, hi continua havent una curiositat ontològica, el signficat i la utilitat de la qual és tema de debat de filòsofs i logicistes.
El conjunt buit no és el mateix que el ; més aviat, és un conjunt sense res i un conjunt sempre és . Es pot entendre aquesta qüestió visualitzant una bossa, una bossa buida existeix sens dubte. Darling (2004) va explicar que el conjunt buit no és el no-res, sinó "el conjunt de tots els triangles de quatre costats, el conjunt de tots els nombres que són més grans que nou, però més petits que buit, el conjunt de tots els moviments d'obertura en els escacs que impliquen el rei."
El popular sil·logisme Res és millor que la felicitat eterna; un entrepà de pernil és millor que res; per tant, un entrepà de pernil és millor que la felicitat eterna. s'utilitza sovint per demostrar que la relació filosòfica entre el concepte de res i el conjunt buit. Darling va escriure que el contrast pot ser vist reescrivint les afirmacions "Res és millor que la felicitat eterna" i "[Un] entrepà de pernil és millor que res" en un to matemàtic. Segons Darling, la primera afirmació és equivalent a "El conjunt de totes les coses que són millor que la felicitat eterna és " i la segona com "El conjunt de {entrepans de pernil} és millor que el conjunt ". El primer compara elements de conjunts, mentre que el segon compara els conjunts en si mateixos.
El filòsof Edward Jonathan Lowe defensa que així com el conjunt buit va ser, sens dubte, una fita important en la història de les matemàtiques… no hauríem d'assumir que la seva utilitat en el càlcul no depèn de si el fet denota algun objecte o no.
també es dona el cas que: "Tot el que se'ns ha dit mai sobre el conjunt buit és que (1) és un conjunt, (2) no té membres, i (3) és únic d'entre tots els conjunts en no tenir cap membre. Tanmateix, hi ha moltíssimes coses que 'no tenen membres', en el sentit de la teoria de conjunts, és a dir, tots els no-conjunts. És clar per què aquestes coses no tenen membres, pel fet de no ser conjunts. El que no és tan clar és com hi pot haver, de manera única d'entre tots els conjunts, un que no contingui membres. No podem conjecturar l'existència de tal entitat a partir de simple estipulació."
El filòsof George Boolos va afirmar que gran part del que la teoria de conjunts ha obtingut fins ara es pot fàcilment obtenir a partir de la quantificació plural sobre individus, sense reïficar els conjunts com a entitats singulars, els membres dels quals són altres entitats.George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.
En altres àrees de les matemàtiques Nombres reals estesos
Com que el conjunt buit no té cap membre i es considera un subconjunt de qualsevol conjunt ordenat, tot membre de tal conjunt és una fita superior i inferior per al conjunt buit. Per exemple, quan es considera un subconjunt dels nombres reals, amb el seu ordre habitual, representat per la recta numèrica, tot nombre real és tant una fita superior com inferior del conjunt buit.Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9. Quan es considera la recta real un subconjunt dels reals estesos, formats en afegir dos "nombres" o "punts" als nombres reals (en particular, l'infinit negatiu, denotat que és per definició inferior a tots els nombres reals estesos, i l'infinit positiu, denotat i definit superior a tots els nombres reals estesos), es té que:
i
És a dir, la mínima fita superior (sup o suprem) del conjunt buit és l'infinit negatiu, mentre que la màxima fita inferior (inf, o ínfim) és l'infinit positiu. En analogia amb el que s'ha exposat més amunt, l'infinit negatiu és l'element identitat per als operadors màxim i superm, mentre que l'infinit positiu és l'element identitat per als operadors mínim i ínfim.
Topologia En qualsevol espai topològic , el conjunt buit és obert per definició, igual que . Com que el complementari d'un conjunt obert és tancat i el conjunt buit i són complementaris l'un de l'altre, el conjunt buit és també tancat, convertint-lo en clopen'' (obert i tancat alhora). A més, el conjunt buit és compacte, atès que tot conjunt finit és compacte.
Es diu que un espai topològic té la topologia indiscreta si els únics conjunts oberts són i l'espai complet.
La clausura del conjunt buit és buida. Això es coneix com la "preservació d'unions nul·làries".
Teoria de categories Si és un conjunt, llavors existeix precisament una funció de a la funció buida. Com a resultat, el conjunt buit és l'únic objecte inicial de la categoria de conjunts i funcions.
El conjunt buit es pot convertir en un espai topològic, anomenat l'espai buit, només d'una manera: definint el conjunt buit com a obert. Aquest espai topològic buit és l'únic objecte inicial en la categoria d'espais topològics amb funcions contínues. De fet, és un objecte inicial estricte: només el conjunt buit té una funció que va a parar al conjunt buit.
Teoria de conjunts En la construcció dels ordinals de von Neumann, es defineix 0 com el conjunt buit, i el successor d'un ordinal es defineix com a . Per tant, es té , , , i així successivament. La construcció de von Neumann, juntament amb l'axioma de l'infinit, que garanteix l'existència de com a mínim un conjunt infinit, es pot utilitzar per construir el conjunt dels nombres reals, , de tal manera que els axiomes de Peano de l'aritmètica se satisfacin.
El seu ús en lingüística