En probabilitat i estadística, la distribució t d'Student és una distribució de probabilitat que sorgeix del problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda amb variància desconeguda quan la mida de la mostra és petita. Aquesta és la base de la popular prova t de Student per a la determinació de les diferències entre dues mitjanes mostrals i per a la construcció de l'interval de confiança per a la diferència entre les mitjanes de dues poblacions.
El seu nom, Student, es deu al pseudònim que utilitzava l'estadístic britànic William Sealey Gosset quan publicava els seus articles científics. Per a la història d'aquesta distribució vegeu la pàgina Prova t de student. La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al..
Definició Sigui una variable aleatòria normal estàndard i una variable aleatòria amb distribució \chi^2 amb graus de llibertat, i independents. La variable es diu que té una distribució de Student amb graus de llibertat i s'escriu o bé .
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució \chi^2 és quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució \chi^2 que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu \nu\in (0,\infty), nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució. En conseqüència, pot definir-se la distribució de Student amb graus de llibertat qualsevol nombre \nu\in (0,\infty). Cal dir que el programari estadístic estàndard, per exemple, el llenguatge R, utilitza graus de llibertat fraccionaris en certs tests estadístics.
Funció de densitat La funció de densitat de la distribució de Student amb graus de llibertat és
on és la funció gamma.
Utilitzant la funció Beta i que també es pot escriure Funció parella. Cal remarcar que aquesta funció és parella : ; gràficament, és simètrica respecte l'eix d'ordenades. Aquesta propietat és important en els càlculs de probabilitats.
Quan és un nombre natural, la funció de densitat és simplifica. Concretament,per a , Llavors i per tant es tracta d'una distribució de Cauchy (centrada en l'origen). Per a senar, la constant de la funció de densitat és on és el doble factorial del nombre .
Per a parell, (Cal recordar que =1).
Funció de distribució Quan el nombre de graus de llibertat és un nombre natural, la funció de distribució es pot donar explícitament en termes de funcions elementals, amb una expressió que es complica a l'augmentar els graus de llibertat.
Funció de densitatFunció de distribució12345
Expressions alternatives de la funció de distribució Per al cas general podem escriure la funció de distribució en termes de la funció beta incompleta:
on i és la funció beta incompleta regularitzada.
Per a , atès que la funció de densitat és parella, el càlcul de és fa per arguments de simetria.
També, per a , es pot escriure la funció de distribució en termes d'una funció hipergeomètrica
on és una funció hipergeomètrica.
Moments Sigui un nombre natural. Aleshores
Si , tenim que Si , llavors , i en conseqüència el moment d'ordre no existeix.
En el cas parell, , també tenim
En particular, si , llavors . Si , llavors
Aproximació normal Sigui , aleshores per a gran, és aproximadament normal estàndard .
Els següents gràfics mostren la densitat de la distribució per a valors creixents de . La densitat de la distribució normal estàndard està dibuixada en blau. Noteu que la densitat de la distribució (en vermell) s'aproxima cada com més a la normal quan creix.
Funció característica Quan el nombre de graus de llibertat és una nombre natural, hi ha fórmules per la funció característica de la distribució de Student, que depenen de si els graus de llibertat son senars o parells, fórmules que cada cop són més complicades a l'augmentar el nombre de graus de llibertat. Una fórmula general utilitzant funcions especials va ser obtinguda el 1995 independentment per S. HurstHurst, Simon. [url=https://web.archive.org/web/20100218072259/http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ The Characteristic Function of the Student-t Distribution], Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95 i A. H. Jorder (veieu). Concretament, si , on és la funció de Bessel modificada de segon tipus.
La distribució t de Student amb tres paràmetres La funció de densitat d'una distribució permet construir de la manera habitual una família de posició i escala : sigui i ; definim Aquesta distribució s'anomena distribució de Student amb tres paràmetres, o distribució de Student amb posició i escala, i es designa per o . Alternativament, si , llavors la variable aleatòria
té distribució .
La distribució t de Student en Estadística El paper central que té distribució de Student en la inferència estadística de poblacions normals és degut al següent teorema:
Vegeu la pàgina de la distribució per a la demostració dels punts 1 i 2. El punt 3 es dedueix del fet que i de les parts 1 i 2 i de la definició de la distribució de Student.
Vegeu la pàgina Interval de confiança per a exemples concrets d'utilització de la distribució de Student.
Relació amb altres distribucions La distribució coincideix amb la distribució de Cauchy. Si , aleshores té una distribució amb 1 i graus de llibertat: .
Vegeu també Prova t d'Student Distribució Interval de confiança Distribució t no central
Notes
Bibliografia
T de Student