miniatura|667x667px|Efecte d'aplicar diverses matrius de transformació afí 2D sobre un quadrat unitari (de costat 1). Tingui's en compte que les matrius de reflexió són casos especials de la matriu d'escala En àlgebra lineal, una aplicació lineal es pot representar mitjançant una matriu. Si és una transformació lineal que representa una aplicació de sobre i és un vector columna amb components, llavors
per a una matriu de dimensió , denominada matriu de transformació de . Ha de tenir-se en compte que té files i columnes, mentre que la transformació és de . Alguns autors emplean expressions alternatives de matrius de transformació que utilitzen vectors fila en lloc de vectors columna, però es tracta d'una circumstància merament formal.
Utilització Les matrius permeten mostrar aplicacions lineals arbitràries en un format coherent, molt adequat per al càlcul. A més, presenten l'avantatge de permetre concatenar fàcilment transformacions successives (multiplicant les matrius).
Les transformacions lineals no són les úniques que es poden representar mitjançant matrius. Algunes transformacions que no són lineals en un espai euclidià Rn de n dimensions es poden representar com a transformacions lineals a l'espai n+1 dimensional Rn+1, on s'inclouen tant transformacions afins (com per exemple les translacions) com a homografies. Per aquesta raó, les matrius de transformació de 4×4 s'utilitzen àmpliament en gràfics 3D per computadora. Aquestes matrius de transformació n+1 dimensionals es denominen, segons la seva aplicació, matrius de transformació afins, matrius de transformació projectives o, més generalment, matrius de transformació no lineals. Pel que fa a una matriu n dimensional, una matriu n+1 dimensional es pot descriure com una matriu augmentada.
En les ciències físiques, una transformació activa és aquella que realment canvia la posició física d'un sistema, i té sentit fins i tot en absència d'un sistema de coordenades, mentre que una transformació passiva és un canvi en la descripció de coordenades del sistema físic (canvi de bases). La distinció entre transformacions actives i passives és important. Per defecte, quan en matemàtiques es parla de transformació, normalment es fa referència a transformacions actives, mentre que en física pot designar qualsevol dels dos tipus.
Dit d'una altra manera, una transformació passiva es refereix a la descripció del mateix objecte vist des de dos marcs de coordenades diferents.
Determinació de la matriu d'una transformació Si es disposa d'una transformació lineal en la seva forma funcional, és fàcil determinar la matriu de transformació A transformant cadascun dels vectors de la seva base canònica per T, i després inserint el resultat en les columnes d'una matriu. En altres paraules,
Per exemple, la funció és una transformació lineal. L'aplicació del procés anterior (suposant que n=2 en aquest cas) revela que
La representació matricial de vectors i operadors depèn de la base triada; el resultat de prendre la base alternada (ordenada d'una altra manera) és una matriu semblant. No obstant això, el mètode per trobar els components segueix sent el mateix.
Per operar, el vector v es representa com una combinació lineal respecte als vectors de la base, amb coordenades :
Ara, expressant el resultat de la matriu de transformació A sobre , a la base donada:
Els elements de la matriu A se determinen per a una base I donada aplicant A a cada , sent el vector obtingut
Aquesta equació defineix els elements buscats de la j-èssima columna de la matriu A.
Base de vectors propis i matriu diagonal No obstant això, existeix una base especial per a una transformació, en la qual els seus components formen una matriu diagonal i, per tant, la complexitat de la multiplicació es redueix a n. Ser diagonal significa que tots els seus coeficients (excepte els) són zeros, deixant només un terme no nul en la suma anterior. Els elements diagonals no nuls, es coneixen com a valors propis i es designen amb en l'equació de definició, que es redueix a. L'equació resultant es coneix com a equació de valors propis. Els valors i vectors propis es calculen mitjançant el polinomi característic de la matriu.
Mitjançant la diagonalització d'una matriu és possible obtenir un canvi de bases cap a i des de bases de vectors propis.
Exemples en 2 dimensions miniatura|250x250px|Les transformacions afins en el plànol 2D es poden realitzar en tres dimensions. La translació es realitza mitjançant un cisallament respecte a l'eix z, i la rotació es realitza al voltant de l'eix z Les transformacions geomètriques més comunes que mantenen l'origen fix són lineals, incloses la rotació, l'escalat, el cisallament, la reflexió i la projecció ortogonal. Si una transformació afí no és una translació pura, manté algun punt fix, i aquest punt pot triar-se com a origen per fer que la transformació sigui lineal. En dues dimensions, les transformacions lineals es poden representar utilitzant una matriu de transformació de 2×2.
Estirament Un estirament en el plànol xy és una transformació lineal que engrandeix totes les distàncies en una adreça particular per un factor constant però no afecta les distàncies en l'adreça perpendicular. Només es van a considerar allargaments respecte a l'eix x i a l'eix i. Un allargament en l'eix x té la forma x' = kx; i' = i per a alguna constant positiva k. S'ha de tenir en compte que si k és >1, llavors es produeix realment un estirament; i si k és <1, tècnicament és una compressió, encara que de forma genèrica també es denomina estirament. A més, si k = 1, llavors la transformació és una identitat, és a dir, no té cap efecte.
La matriu associada amb un estirament per un factor k en l'eix x ve donada per:
De manera similar, un estirament per un factor k en l'eix i té la forma x' = x; i' = ky, per la qual cosa la matriu associada amb aquesta transformació és
Contracció Si dos dels estiraments anteriors es combinen amb valors recíprocs, llavors la matriu de transformació representa una contracció:
Un quadrat amb costats paral·lels als eixos es transforma en un rectangle que té la mateixa àrea que el quadrat. L'estirament i la compressió recíprocs no alteren el valor de l'àrea de la figura sobre la qual s'apliquen.
Rotació Per generar una rotació amb un angle θ en el sentit de les agulles del rellotge respecte a l'origen de coordenades, la forma funcional és i . Escrit en forma de matriu, això es converteix en: http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf
De manera similar, per a una rotació en sentit antihorario respecte a l'origen, la forma funcional és i , i la seva forma matricial és:
Aquestes fórmules assumeixen que l'eix x apunta a la dreta i l'eix i apunta cap amunt.
Cisallament Per generar un cisallament (visualment similar a una inclinació), hi ha dues possibilitats.
Un cisallament paral·lel a l'eix x té l'expressió i . Escrit en forma de matriu, això es converteix en:
Un cisallament paral·lel a l'eix i té l'expressió i , que té forma de matriu:
Reflexió Per obtenir la reflexió respecte a una recta que passa per l'origen, sent un vector en l'adreça de la recta. Llavors, n'hi ha prou amb usar la matriu de transformació:
Projecció ortogonal Per projectar un vector ortogonalment respecte a una recta que pansa per l'origen, es pren primer , un vector en l'adreça de la recta, i s'usa la matriu de transformació següent:
Igual que amb les reflexions, la projecció ortogonal sobre una recta que no pansa per l'origen és una transformació afí, no lineal.
Les projeccions paral·leles també són transformacions lineals i es poden representar simplement mitjançant una matriu. No obstant això, les projeccions en perspectiva no ho són, i per representar-les amb una matriu, s'han d'utilitzar coordenades homogènies.
Exemples en gràfics 3D per computadora Rotació La matriu per rotar un angle θ al voltant de qualsevol eix definit per un vector unitari de components (l, m, n) és
Reflexió Per reflectir un punt a través d'un plànol (que passa per l'origen), es pot usar l'expressió , on és la matriu identitat 3x3 i és el vector unitari tridimensional per al vector normal del plànol. Si el mòdul d' i és la unitat, la matriu de transformació es pot expressar com:
S'ha de tenir en compte que aquests són casos particulars d'una transformació de Householder en dues i tres dimensions. Una reflexió sobre una línia o plànol que no pansa per l'origen no és una transformació lineal, és un transformació afí. Una matriu de transformació afí de 4x4, es pot expressar de la següent manera (assumint que la normal és un vector unitari):
on per a algun punt del plànol.
Si la quarta component del vector és 0 en lloc de 1, llavors només es reflecteix l'adreça del vector i la seva longitud roman sense canvis, com si es reflectís a través d'un plànol paral·lel que passa per l'origen. Aquesta és una propietat molt útil, ja que permet la transformació de vectors posicionals i vectors normals amb la mateixa matriu. Consulti's coordenades homogènies i transformacions afins a continuació per obtenir més informació sobre el tema.
Compondre i invertir transformacions Una de les principals motivacions per usar matrius per representar transformacions lineals és que les transformacions poden compondre's i invertir-se fàcilment.
La composició s'aconsegueix mitjançant la multiplicació de matrius. Els vectors (fila o columna) són operats per matrius, files a la dreta i columnes a l'esquerra. Atès que el text es llegeix d'esquerra a dreta, es prefereixen els vectors fila quan es componen les matrius de transformació:
Si A i B són les matrius de dues transformacions lineals, llavors l'efecte d'aplicar primer A i després B a un vector fila x ve dau per:
En altres paraules, la matriu de la transformació combinada A seguida de B és simplement el producte de les dues matrius.
Quan A és una matriu invertible, llavors existeix una matriu A−1 que representa una transformació que desfà A, ja que la seva composició amb A és la matriu identitat. En algunes aplicacions pràctiques, la inversió es pot calcular utilitzant algorismes d'inversió generals o duent a terme operacions inverses (que tenen una interpretació geomètrica òbvia, com rotar en adreça oposada) i després compondre-les en ordre invers.
Altres tipus de transformacions Transformacions afins Per representar una transformació afí amb matrius, es poden usar coordenades homogènies. Això significa representar un 2-vector (x, i) com un 3-vector (x, i, 1), i de manera similar per a dimensions més altes. Amb aquest sistema, la translació es pot expressar mitjançant una multiplicació de matrius. La forma funcional es converteix en:
Totes les transformacions lineals ordinàries s'inclouen en el conjunt de transformacions afins i es poden descriure com una forma simplificada de transformacions afins. Per tant, qualsevol transformació lineal també es pot representar mitjançant una matriu de transformació general. Aquesta última s'obté expandint la matriu de transformació lineal corresponent en una fila i en una columna, omplint l'espai extra amb zeros excepte la cantonada inferior dreta, el valor de la qual ha de ser 1. Per exemple, la matriu de rotació en sentit antihorari (vista la figura des de dalt) es converteix en: