Hom parla de nombres grans per referir-se a nombres que són significativament més grans que els que s'usen en la vida quotidiana, com ara en comptar o en transaccions monetàries. El terme es refereix principalment a nombres positius grans, o més en general, a nombres reals positius grans, però també es pot usar aquesta terminologia en altres àmbits.
Els nombres grans apareixen amb freqüència en camps com les matemàtiques, cosmologia, criptografia i mecànica estadística.
Ús de la notació científica per a tractar nombres grans i petits
La notació científica es va crear per tal de tractar l'ampli rang de valors que apareixen en l'estudi científic. El nombre 1,0 × 10⁹, per exemple, significa un miliard, o mil milions, és a dir, un 1 seguit de nou zeros: 1 000 000 000; i 1,0 × 10-9 significa una milmilionèsima, o 0,000 000 001. El fet d'escriure 10⁹ en comptes de nou zeros estalvia als lectors l'esforç i els possibles errors en llegir una seqüència llarga de zeros per tal de copsar la magnitud del nombre.
Nombres grans en la vida quotidiana Alguns exemples de nombres grans que descriuen objectes reals de la vida quotidiana són: El nombre de bits del disc dur d'un ordinador (, al voltant de 1013, 500-1000 GB) El nombre estimat d'àtoms de l'Univers observable (1080) El nombre de cèl·lules del cos humà (més de 10¹⁴) El nombre de connexions neuronals del cervell humà (unes 10¹⁴) La fita inferior per a la complexitat de l'arbre de joc dels escacs, coneguda com a Nombre de Shannon (estimat al voltant de 1043) La constant d'Avogadro, el nombre d'"entitats elementals" (habitualment àtoms o molècules) presents en un mol; el nombre d'àtoms de 12 grams de carboni-12 (aproximadament 6,022 × 1023)
Nombres astronòmicament grans Alguns altres nombres grans apareixen en astronomia i cosmologia, com ara els que descriuen la longitud i el temps. Per exemple, el model actual del big-bang suggereix que l'Univers té uns 13.000 milions d'anys (4,355 × 1017 segons), i que l'univers observable té un diàmetre d'uns 93.000 milions d'anys llum (8,8 × 1026 metres), i conté al voltant de 5 × 1022 estrelles, organitzades en uns 125.000 milions (1,25×1011) de galàxies, segons les observacions del telescopi Hubble. S'estima que hi ha uns 1080 àtoms a l'univers observable.
Segons Don Page, físic de la Universitat d'Alberta (Canadà), el temps finit més gran que mai s'ha calculat explícitament és
que correspon a l'escala d'un temps recurrent de Poincaré estimat per a l'estat quàntic d'una caixa hipotètica que conté un forat negre d'una massa igual a la de tot l'univers, observable o no, amb la hipòtesi d'un cert model inflacionari amb un inflató de massa igual a 10−6 masses de Planck. Aquest temps assumeix un model estadístic subjecte a la recurrència de Poincaré. Una manera simplificada de pensar en aquest temps és en un model en el qual la història del nostre univers es repeteix un nombre arbitrari de cops a causa de les propietats de la mecànica estadística; aquesta és l'escala de temps en la qual l'univers seria, per primer cop, similar al seu estat actual (escollint de manera adequada el sentit del terme "similar").
Els processos combinatoris generen ràpidament nombres encara més grans. La funció factorial, que defineix el nombre de permutacions d'un conjunt d'objectes, creix molt ràpidament amb el nombre d'objectes. La fórmula de Stirling proporciona una expressió asimptòtica per a aquesta taxa de creixement.
Els processos combinatoris també generen nombres molt grans en mecànica estadística. Habitualment, aquests nombres són tan grans que hom s'hi refereix només prenent logaritmes.
Els nombres de Gödel, i altres mètodes per representar cadenes de bits en teoria algorísmica de la informació, són nombres molt grans, fins i tot per a enunciats matemàtics de longitud raonable. Tanmateix, alguns nombres patològics són encara més grans que els nombres de Gödel associats a proposicions matemàtiques típiques.
El lògic Harvey Friedman ha desenvolupat part del seu treball sobre nombres grans, com en el cas del teorema dels arbres de Kruskal i el teorema de Robertson-Seymour.
Ordinadors i complexitat computacional Entre 1980 i 2000, els discos durs dels ordinadors personals han evolucionat des d'una capacitat d'uns 10 megabytes (107 bytes) fins a més de 100 gigabytes (1011 bytes). Un disc de 100 gigabytes podria emmagatzemar el color favorit dels 7.000 milions d'habitants de la Terra sense comprimir les dades (emmagatzemar 14 bytes per cadascun dels 7.000 milions d'habitants ocuparia aproximadament 98 GB). Si ara pensem a emmagatzemar en un diccionari totes les possibles contrasenyes de fins a 40 caràcters, n'hi ha unes 2320 possibilitats, que és prop de 2 × 1096. En la seva publicació Computational capacity of the universe, Seth Lloyd afirma que si es poguessin fer servir totes les partícules de l'univers com a part d'un ordinador enorme, només podria emmagatzemar de l'ordre de 1090 bits, menys d'una milionèsima part del que necessitaria el diccionari de contrasenyes. Tot i això, emmagatzemar informació i tractar-la computacionalment són coses ben diferents.
Amb tot, encara es poden programar ordinadors per tal que creïn i imprimeixin totes aquestes contrasenyes de 40 caràcters. Aquest programa es podria deixar que funcionés indefinidament. Si assumim que un PC modern pot imprimir uns 1.000 milions de cadenes de caràcters per segon, l'esforç computacional seria uns 2 × 1087 segons (uns 6 × 1079 anys), una milmilionèsima part del volum de dades (que, recordem, era d'unes 2 × 1096 contrasenyes). Per contra, hom estima que l'univers té uns 13.800 milions d'anys (1,38 × 10¹⁰). És a dir, el temps per a imprimir totes les contrasenyes de fins a 40 caràcters superaria, de lluny, l'edat actual de l'univers.
És previsible que els ordinadors cada cop siguin més ràpids, però la mateixa publicació de Seth Lloyd mencionada abans estima que, si l'univers funcionés com un gran computador, hauria realitzat no més de 10120 operacions des del big-bang. Això és bilions de vegades més càlculs que els necessaris per imprimir totes les contrasenyes de 40 caràcters, però computar i imprimir totes les contrasenyes de 50 caràcters sobrepassaria el potencial de computació estimat de tot l'univers. Els problemes com aquest tenen un creixement exponencial del nombre de càlculs que requereixen, i són un dels motius pels quals hom diu que els problemes amb dificultat exponencial són "intractables" en la teoria de computació. La divisió tradicional entre problemes "fàcils" i "difícils" es dibuixa, doncs, en programes que requereixen o no recursos amb creixement exponencial per executar-se.
Aquests límits resulten ser un avantatge en criptografia, ja que qualsevol tècnica de desxifratge que necessiti, per exemple, més de 10120 operacions mai serà factible. Aquests xifratges s'han de trencar mitjançant el desenvolupament de tècniques eficients que siguin desconegudes per al dissenyador del xifratge. Més en general, una gran part de les investigacions en ciències de la computació se centren a trobar solucions eficients a problemes que treballin amb molts menys recursos que els que requereixen una cerca per força bruta. Per exemple, una forma de trobar el màxim comú divisor entre dos nombres de 1.000 dígits cadascun pot ser descompondre cada nombre en els seus factors primers. Això pot comportar unes 2 × 10500 divisions, una quantitat massa gran com per considerar-la viable. Però l'algorisme d'Euclides, amb una tècnica molt més eficient, només necessita una fracció de segon per a calcular el de nombres tan grans.
La computació quàntica pot fer que alguns d'aquests problemes que necessiten una quantitat exponencial d'operacions, que fins ara són inabastables, es puguin arribar a resoldre; però aquesta tecnologia encara té dificultats teòriques i pràctiques que potser mai no es puguin superar, com la producció en massa de qubits, els blocs fonamentals de la computació quàntica.
Exemples
(10.000.000.000), anomenat "deu bilions" en l'escala curta, o "deu miliards" o "deu mil milions" en l'escala llarga. sexdeciliard = , també conegut com a duotrigintilió. googol = centilió = o , depenent del sistema de nomenclatura. el nombre primer de Mersenne més gran conegut = googolplex = nombres de Skewes: el primer és aproximadament , el segon nombre de Graham, més gran del que es pot representar amb torres de potències; encara que es pot representar amb la notació de Knuth.
La quantitat total de coneixement imprès a tot el món és d'uns 1,6×1018 bits; per tant, el seu contingut es pot representar per un nombre ente 0 i aproximadament
Compareu:
El primer nombre és molt més gran que el segon, ja que, encara que la base (1,1) és més petita, té una torre de potències més gran.
Creació sistemàtica de seqüències de nombres de creixement ràpid Donada una funció-successió entera creixent (n≥1), hom pot crear una successió de creixement ràpid (on el superíndex n denota ln-sima potència funcional). Això es pot repetir indefinidament escrivint , on cada successió creix molt més ràpidament que l'anterior. Llavors podem definir , que creix molt més ràpidament que qualsevol per k finit (on ω és el primer nombre ordinal infinit, que representa el límit de tots els nombres k finits). Aquesta és la base de la jerarquia de creixement ràpid de funcions, on el subíndex s'estén a ordinals cada cop més grans.
Per exemple, començant amb f0(n) = n + 1: f1(n) = f0n(n) = n + n = 2n f₂(n) = f1n(n) = 2nn > (2 ↑) n per n ≥ 2 (usant la notació de Knuth) f₃(n) = f₂n(n) > (2 ↑)n n ≥ 2 ↑² n per n ≥ 2. fk+1(n) > 2 ↑k n per n ≥ 2, k < ω. fω(n) = fn(n) > 2 ↑n - 1 n > 2 ↑n − 2 (n + 3) − 3 = A(n, n) per n ≥ 2, on A és la funció d'Ackermann (de la qual fω n'és una versió unària). fω+1(64) > fω64(6) > nombre de Graham (= g64 en la successió definida per g0 = 4, gk+1 = 3 ↑gk 3). Això és conseqüència d'escriure fω(n) > 2 ↑n - 1 n > 3 ↑n - 2 3 + 2 i, per tant, fω(gk + 2) > gk+1 + 2. fω(n) > 2 ↑n - 1 n = (2 → n → n-1) = (2 → n → n-1 → 1) (usant la notació de fletxa encadenada de Conway) fω+1(n) = fωn(n) > (2 → n → n-1 → 2) (perquè si gk(n) = X → n → k llavors X → n → k+1 = gkn(1)) fω+k(n) > (2 → n → n-1 → k+1) > (n → n → k) fω2(n) = fω+n(n) > (n → n → n) = (n → n → n→ 1) fω2+k(n) > (n → n → n → k) fω3(n) > (n → n → n → n) fωk(n) > (n → n → ... → n → n) (cadena de k+1 n'''s) fω²(n) = fωn(n) > (n → n → ... → n → n) (cadena de n+1 n's)
Sistema normalitzat per l'escriptura de nombres grans El fet de tenir una forma canònica d'escriure nombres grans permet ordenar-los fàcilment de forma creixent, i proporciona una manera senzilla d'identificar si un nombre és més gran que un altre.
Per tal de comparar nombres escrits en notació científica, per exemple 5×104 i 2×10⁵, primer es comparen els exponents, en aquest cas 5 > 4, de tal manera que 2×10⁵ > 5×104. Si els exponents són iguals, llavors cal comparar la mantissa (o coeficient); per exemple, 5×104 > 2×104 perquè 5 > 2.
La tetració amb base 10 dona la seqüència , les torres de potències de 10, on denota una potència funcional de la funció (la funció també s'expressa amb el sufix "-plex", com per exemple a googolplex).
Aquests són nombres rodons, és a dir, cadascun representa un ordre de magnitud en sentit general. Una forma poc precisa de dir com és de gran un nombre és especificar entre quins dos nombres de la seqüència es troba.
Així, googolplex és .
Un altre exemple: (entre i )
Per tant, l'"ordre de magnitud" d'un nombre (en una escala superior a l'habitual) es pot caracteritzar pel nombre de vegades (n) que hom ha de prendre per tal d'obtenir un nombre entre 1 i 10. Així, el nombre es troba entre i . Com hem vist, una descripció més acurada d'un nombre també especifica si el valor d'aquest nombre està entre 1 i 10, o el nombre anterior (prenent el logaritme un cop menys) entre 10 i 10¹⁰, o el següent, entre 0 i 1.
Notem que