En anàlisi complexa, el gran Teorema de Picard i el petit Teorema de Picard són dos teoremes relacionats entre si que tracten sobre el recorregut d'una funció analítica. Reben aquest nom pel matemàtic Charles Émile Picard.

Teoremes miniatura|Gràfic de la funció exp(), centrada en la singularitat essencial de z = 0. El color representa l'argument complex, i la intensitat representa el valor absolut. Aquest gràfic mostra que, si hom s'apropa arbitràriament a la singularitat, la funció pren qualsevol valor.

Petit Teorema de Picard

Aquest teorema és una versió significativament més forta que el teorema de Liouville, que estableix que la imatge d'una funció entera no constant ha de ser no fitada. Posteriorment hi hagué altres versions del teorema de Picard, de les quals el Teorema de Schottky n'és una versió quantitativa.

Gran Teorema de Picard

Aquesta és una versió significativament més forta que el Teorema de Weierstrass-Casorati, que només garanteix que el recorregut de f és dens dins del pla complex.

És necessari considerar l'"excepció" a ambdós teoremes, com es pot veure amb aquests contraexemples: ez és una funció entera no constant que mai pren el valor 0. e1/z té una singularitat essencial a z = 0, però mai pren el valor 0.

Generalització i recerca actual El Gran Teorema de Picard també és cert pel cas general de funcions meromorfes:

Exemple: La funció meromorfa f(z) = 1/(1 − e1/z) té una singularitat essencial a z = 0, i pren el valor ∞ infinites vegades en qualsevol entorn de 0; però mai pren els valors 0 ni 1.

Amb aquesta generalització, el Petit Teorema de Picard és una conseqüència del Gran Teorema de Picard, ja que una funció entera és o bé un polinomi, o bé té una singularitat essencial a l'infinit.

La següent conjectura està relacionada amb el "Gran Teorema de Picard".

És fàcil veure que les diferencials es combinen en una 1-forma holomorfa g dz sobre D \ {0}. En el cas especial que el residu de g al punt 0 és zero, la conjectura és una conseqüència del "Gran Teorema de Picard".

Referències

Bibliografia

Categoria:Anàlisi complexa Picard