En teoria de conjunts, laxioma d'extensionalitat és un axioma que estableix que dos conjunts són iguals si i només si tenen els mateixos elements.
Enunciat L'enunciat de l'axioma estableix que si dos conjunts tenen els mateixos element aleshores són idèntics:
L'afirmació recíproca -dos conjunts iguals tenen els mateixos elements- és un teorema lògic. Un enunciat equivalent, utilitzant la noció de subconjunt, és:
Donats dos conjunts, i , tals que cada un és subconjunt de l'altre, i , llavors són iguals,
L'axioma d'extensionalitat constitueix la definició fonamental del concepte de conjunt com una col·lecció abstracta d'objectes. L'axioma d'extensionalitat assegura que els elements x d'un conjunt A són l'única cosa que el defineix, és a dir, els objectes que hi estan relacionats per pertinença, x ∈ A. Això contrasta amb altres relacions com per exemple, "ser un divisor primer": els únics divisors primers de 6 i 12 són 2 i 3 però ambdós nombres són diferents, 6 ≠ 12.
Consistència relativa L'axioma de l'extensionalitat (Ex) és completament independent de la resta d'axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF). La pràctica totalitat dels models que es construeixen per a ZF inclouen Ex, per tant és consistent amb la resta d'axiomes. D'altra banda, a partir del model dels conjunts hereditàriament finits pot construir-se un altre en el qual conjunts amb els mateixos elements no siguin idèntics però respectant la resta d'axiomes, per la qual cosa Ex no és derivable d'aquests.
Referències En este artículo se presenta una demostración de la independencia del axioma de extensionalidad. En §1 discute el axioma de extensionalidad.
Categoria:Axiomes de la teoria de conjunts