Cub

alt=A space diagonal AC' and a face diagonal AC|miniatura|Una diagonal de cara es denota com i una diagonal espacial és Un cub, hexàedre regular o hexaedre regular és un políedre regular format per sis cares quadrades en el qual en cada vèrtex hi coincideixen tres arestes perpendiculars entre si. El seu volum es calcula segons la fórmula a³, on a és la longitud d'una aresta.

El cub és l'únic hexàedre regular i forma part dels cinc sòlids platònics. Té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes. També és un paral·lelepípede quadrat i un cuboide equilateral. És un prisma quadrat regular en tres orientacions i un trapezoedre trigonal en quatre orientacions. És el dual de l'octàedre i té simetria octaèdrica o cúbica. Finalment, és l'únic políedre convex que té totes les cares quadrades.

Propietats Un cub és un políedre amb vuit vèrtexs i dotze arestes de la mateixa longitud, que formen sis quadrats com a cares. Un cub és un cas especial d'un ortoedre rectangular, que té sis cares rectangulars, cadascuna de les quals té un parell d'arestes oposades de la mateixa longitud i paral·leles. Tots dos políedres tenen el mateix angle diedre, l'angle entre dues cares adjacents en una aresta comuna, un angle recte o 90°, obtingut a partir de l'angle interior (un angle format entre dos costats adjacents en un punt comú d'un polígon dins) d'un quadrat. See table II, line 3. Més generalment, el cub i l'ortoedre rectangular són casos especials d'un ortoedre, un políedre amb sis quadrilàters (un polígon de quatre costats). Com per a tots els políedres convexos, el cub té una característica d'Euler de 2, segons la fórmula ; les tres lletres denoten respectivament el nombre de vèrtexs, arestes i cares.

Les tres cares quadrades que envolten un vèrtex són ortogonals entre si, és a dir, els plans són perpendiculars, formant un angle recte entre dos quadrats adjacents. Per tant, el cub es classifica com a políedre ortogonal. El cub és un cas especial d'altres quadrats. Aquests inclouen un paral·lelepípede, un políedre amb sis cares de paral·lelograms, perquè els seus parells de cares oposades són congruents; un romboedre, com a cas especial d'un paral·lelepípede amb sis cares de rombes, perquè l'angle interior de totes les cares és recte; i un trapezoedre trigonal, un políedre amb cares quadrilàteres congruents, ja que les seves cares quadrades són els casos especials dels rombes.

El cub és un políedre elemental o no compost. És a dir, cap pla que intersequi la seva superfície només al llarg de les arestes, tallant així en dos o més políedres convexos de cares regulars.

Mesura i altres propietats mètriques Donat un cub amb una longitud d'aresta , la diagonal de la cara del cub és la diagonal d'un quadrat , i la diagonal espacial del cub és una línia que connecta dos vèrtexs que no es troben a la mateixa cara, formulada com Ambdues fórmules es poden determinar mitjançant el teorema de Pitàgores L'àrea de la superfície d'un cub és sis vegades l'àrea d'un quadrat: El volum d'un ortoedre és el producte de la seva longitud, amplada i alçada. Com que totes les arestes d'un cub tenen la mateixa longitud, la fórmula per al volum d'un cub és la tercera potència de la longitud del seu costat. Això porta a l'ús del terme cub com a verb, per significar elevar qualsevol nombre a la tercera potència: Un cas especial és el cub unitari, anomenat així per mesurar una sola unitat de longitud al llarg de cada aresta. D'això es dedueix que cada cara és un quadrat unitari i que la figura sencera té un volum d'1 unitat cúbica. El príncep Rupert del Rin, conegut per la gota del príncep Rupert, va qüestionar si un cub podia passar a través d'un forat tallat al cub unitari. La resposta és que el cub pot passar a través d'una còpia de si mateix de la mateixa mida o més petita. Les seves arestes són un 6% més llargues que el cub unitari, obtingut pel teorema de Pitàgores o equivalentment la fórmula de la distància euclidiana en un espai tridimensional. Un antic problema de duplicar el cub també conegut com el problema de Delos requereix la construcció d'un cub amb un volum el doble de l'original utilitzant només un compàs i un regle. Això va ser conclòs pel matemàtic francès Pierre Wantzel el 1837, demostrant que és impossible d'implementar, ja que un cub amb el doble de volum de l'original l'arrel cúbica de 2, no és construïble. Tanmateix, va resoldre aquest problema plegant un paper d'origami. alt=Cube with a hole through which an equal cube can pass|miniatura|El cub del Príncep Rupert El cub té tres tipus de geodèsiques tancades, o camins a la superfície d'un cub que són localment rectes. En altres paraules, eviten els vèrtexs, segueixen segments de línia a través de les cares que creuen i formen angles complementaris a les dues cares incidents de cada aresta que creuen. Un tipus es troba en un pla paral·lel a qualsevol cara del cub, formant un quadrat congruent a una cara, quatre vegades la longitud de cada aresta. Un altre tipus es troba en un pla perpendicular a la diagonal llarga, formant un hexàgon regular; la seva longitud és vegades la d'una aresta. El tercer tipus és un hexàgon no pla. See Figure 11, p. 273, for showing three types of cube's geodesics.

Insfera, midsfera, circumsfera Una esfera interior d'un cub és una esfera tangent a les cares d'un cub en els seus centroides. La seva meitat esfera és una esfera tangent a les arestes d'un cub. La seva circumsfera és una esfera tangent als vèrtexs d'un cub. Amb longitud d'aresta , són respectivament: Table I(i), p. 292–293. See the columns labeled , , and , Coxeter's notation for the circumradius, midradius, and inradius, respectively, also noting that Coxeter uses as the edge length (see p. 2).

Simetria alt=Cube, the dual of a regular octahedron|miniatura|El poliedre dual d'un cub és l'octaedre regular. Tots dos tenen simetria octaèdrica. Un hexaedre regular (o cub) té quinze eixos de simetria d'ordre quatre: les rectes perpendiculars a cada parell de cares paral·leles pel seu punt mitjà; quatre eixos de simetria d'ordre dos: les rectes que uneixen els centres d'arestes oposades; nou plans de simetria; tres paral·lels a cada parell de cares paral·leles pel punt mitjà de les arestes que les uneixen, i sis formats pels parells d'arestes oposades; i un centre de simetria. Això fa que aquest cos tingui un ordre de simetria total de 48: 2x(3x4+6x2).

Els elements de simetria anteriors defineixen un dels grups de simetria octaèdrics, el denominat Oh segons notació de Schöenflies.

El cub té simetria octaèdrica d'ordre 48. En altres paraules, el cub té 48 isometries (inclosa la identitat), cadascuna de les quals transforma el cub en si mateix. Aquestes transformacions inclouen nou simetries de reflexió (on dues meitats tallades per un pla són idèntiques): tres tallen el cub als punts mitjans de les seves arestes i sis tallen en diagonal. El cub també té tretze eixos de simetria rotacional (on la rotació al voltant de l'eix dona com a resultat una aparença idèntica): tres eixos passen pels centroides de les cares oposades, sis pels punts mitjans de les arestes oposades i quatre pels vèrtexs oposats; aquests eixos són respectivament simetria rotacional quàdruple (0°, 90°, 180° i 270°), simetria rotacional doble (0° i 180°) i simetria rotacional triple (0°, 120° i 240°). See p. 276.

El políedre dual es pot obtenir a partir de cadascun dels vèrtexs dels políedres tangents a un pla mitjançant un procés conegut com a reciprocació polar. Una propietat dels políedres duals és que el políedre i el seu dual comparteixen el seu grup de punts de simetria tridimensional. En aquest cas, el políedre dual d'un cub és l'octaedre regular, i tots dos políedres tenen la mateixa simetria octaèdrica.

El cub és transitiu de cares, és a dir, que les seves dues cares quadrades són iguals i es poden representar per rotació i reflexió. See p. 247. És transitiu de vèrtexs, és a dir, que tots els seus vèrtexs són equivalents i es poden representar isomètricament sota la seva simetria. També és transitiu d'arestes, és a dir, que el mateix tipus de cares envolten cadascun dels seus vèrtexs en el mateix ordre o en ordre invers, i cada parell de cares adjacents té el mateix angle diedre. Per tant, el cub és un políedre regular. Cada vèrtex està envoltat per tres quadrats, de manera que el cub és per configuració de vèrtex o pel símbol de Schläfli.

Geometria i fórmules Donat un cub regular d'aresta :

Àrea de la superfícieVolumDiagonal facialDiagonal espacialRadi de l'esfera circumscritaRadi de l'esfera tangent a les arestesRadi de l'esfera inscritaAngles entre cares (en radians)

Com que el volum del cub és la potència tercera de les seves arestes (), les potències terceres s'anomenen «cub» per analogia a «quadrat» i les potències segones.

El cub té el volum més gros entre tots els cuboides amb una mateixa àrea superficial. A més a més, el cub també té el volum més gros entre els cuboides amb la mateixa longitud d'aresta total (amplada + llargada + alçada).

Punt en l'espai Per un cub l'esfera circumscrita del qual tingui radi R, i per un punt donat del seu espai tridimensional amb distàncies di respecte els vuit vèrtexs del cub, s'obté:Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

Coordenades cartesianes i equació en l'espai tridimensional Coordenades cartesianes Per un cub centrat en l'origen, amb arestes paral·leles als eixos i amb una longitud d'aresta de 2, les coordenades cartesianes dels vèrtexs són:

(±1, ±1, ±1)

Mentre que l'interior consisteix en tots els punts (x0, x1, x₂) amb −1 < xi < 1 per tot i.

Equació en l'espai tridimensional En geometria analítica, la superfície d'un cub amb centre (x0, y0, z0) i llargada d'aresta 2a és el locus de tots els punts (x, y, z) tals que

Projeccions ortogonals El cub té quatre projeccions ortogonals especials: centrada en un vèrtex, aresta o cara, i normal a la seva figura de vèrtex. La primera i tercera corresponen als plans de Coxeter A₂ and B₂.

+ Projeccions ortogonalsCentratge perCaraVèrtexPlans de CoxeterB₂100pxA₂100pxSimetriaprojectivaVistes laterals100px100px

Políedre esfèric El cub també es pot representar com un políedre esfèric i ser projectat sobre el pla per mitjà d'una projecció estereogràfica. Aquesta projecció és conforme, és a dir, preserva els angles però no pas les àrees o llargades. Les línies rectes de l'esfera es projecten com a arcs circulars sobre el pla.

160px160pxProjecció ortogràficaProjecció estereogràfica

En la cultura Els cubs han aparegut en molts papers en la cultura popular. És la forma més comuna de daus. Joguines de trencaclosques com ara peces d'un cub Soma, el cub de Rubik i Skewb estan construïts amb cubs. Minecraft és un exemple d'un videojoc de tipus sandbox de blocs cúbics. L'escultura a l'aire lliure Alamo (1967) és un cub que gira al voltant del seu eix vertical. Il·lusions òptiques com el cub impossible i el cub de Necker han estat explorades per artistes com MC Escher. El cub es va aplicar al tractat d' Alberti sobre arquitectura renaixentista, De re aedificatoria (1450). Les cases cúbiques als Països Baixos són un conjunt de cases cúbiques les diagonals hexagonals de les quals es converteixen en la planta principal.

Des d'anys passats, i en nombroses cultures, el cub és la forma més utilitzada per donar forma als daus, utilitzats en molts llocs. En els jocs de rol l'anotació escrita en el dau de sis cares és «D6».

En teologia, els cubs apareixen a les religions abrahàmiques. La Kaaba de la Meca n'és un exemple, ja que significa justament «cub» en àrab. També apareixen al judaisme: teffilin i Nova Jerusalem al Nou Testament són descrits com a cubs.

El cub representa simbòlicament la veritat. I s'associava amb Hermes.

miniatura|Model sòlid platònic del sistema solar de Kepler

En la natura i la ciència