En matemàtiques, els grups clàssics es defineixen com els grups lineals especials sobre els reals , els complexos i els quaternions , juntament amb automorfismes de grups especialsAquí, especial significa el subgrup del grup d'automorfismes total, els elements del qual tenen determinant 1. de formes bilineals simètriques o antisimètriques i de formes sesquilineals hermítiques o antihermítiques definides sobre espais vectorials de dimensió finita reals, complexos o quaterniònics. D'aquests, els grups de Lie clàssics complexos són quatre famílies infinites de grups de Lie que, juntament amb els grups excepcionals, formen la totalitat dels grups de Lie simples. Els grups clàssics compactes són formes reals compactes dels grups clàssics complexos. Els anàlegs finits dels grups clàssics són els grups de tipus Lie clàssics. El terme grup clàssic fou creat per Hermann Weyl, a la seva monografia de 1939 The Classical Groups.
Els grups clàssics Els grups clàssics són exactament els grups lineals generals sobre , i juntament amb els grups d'automorfismes tractats més endavant. A continuació es detallen els grups clàssics amb determinant 1: Nom Grup Cos Forma Subgrup compacte maximal Àlgebra de Lie Sistema d'arrels Lineal especial (real) SL(n, R) R - SO(n)
Lineal especial complex SL(n, C) C - SU(n) Complexa
Lineal especial quaterniònic SL(n, H) = SU∗(2n) H - Sp(n)
Ortogonal especial (indefinit) SO(p, q) R Simètrica S(O(p) × O(q))
Ortogonal especial complex SO(n, C) C Simètrica SO(n) Complexa
Simplèctic Sp(m, R) R Antisimètrica U(m)
Simplèctic complex Sp(m, C) C Antisimètrica Sp(m) Complexa
Unitari especial (indefinit) SU(p, q) C Hermítica S(U(p) × U(q))
Unitari quaterniònic (indefinit) Sp(p, q) H Hermítica Sp(p) × Sp(q) Ortogonal quaterniònic SO∗(2n) H Antihermítica SO(2n)
Els grups clàssics complexos són , i . Un grup és complex si la seva àlgebra de Lie és complexa. El terme grups clàssics reals es refereix a tots els grups clàssics, ja que tota àlgebra de Lie és una àlgebra real. Els grups clàssics compactes són les formes reals compactes dels grups clàssics complexos. Aquests són, al seu torn, , i . Una caracterització de la forma real compacta és en termes de l'àlgebra de Lie . Si , la complexificació de , llavors si el grup connex generat per és un conjunt compacte, és una forma real compacta.
Els grups clàssics es poden caracteritzar d'una altra manera utilitzant formes reals. Els grups clàssics (aquí, amb la condició addicional de tenir determinant igual a 1, però això no és necessari) són:
Per exemple, és una forma real de , és una forma real de , i és una forma real de . Sense la condició que el determinant sigui 1, cal reemplaçar a la caracterització els grups lineals especials pels corresponents grups lineals generals. Els grups algebraics en qüestió són grups de Lie, però cal parlar d'"algebraics" per tenir la noció correcta de "forma real".
Formes bilineals i sesquilineals
Els grups clàssics es defineixen en termes de formes definides sobre , i , on i són els cossos dels nombres reals i complexos. Els quaternions, , no formen un cos perquè la multiplicació no és commutativa; formen un anell de divisió o cos no commutatiu. No obstant això, encara és possible definir grups quaterniònics de matrius. Per aquest motiu, es pot definir un espai vectorial sobre o , així com sobre . En el cas de , és un espai vectorial per la dreta, per tal de fer possible la representació de l'acció de grup des de lesquerra, de la mateixa manera que per i .
Una forma sobre un espai vectorial per la dreta de dimensió finita sobre , o és bilineal si . Hom diu que és sesquilineal si .
Un automorfisme de és una aplicació en el conjunt dels operadors lineals sobre tal que
El conjunt de tots els automorfismes de forma un grup, anomenat grup d'automorfismes de , i denotat per . Això porta a una definició preliminar d'un grup clàssic:
Aquesta definició té alguns problemes perquè posseeix una redundància innecessària: en el cas de , bilineal és equivalent a sesquilineal; en el cas de , no existeixen formes bilineals tret de la forma nul·la.
Formes simètriques, antisimètriques, hermítiques i antihermítiques Una forma és simètrica si . És antisimètrica si . És hermítica si . Finalment, és antihermítica si .
Una forma bilineal es pot descompondre unívocament com a suma d'una forma simètrica i una d'antisimètrica. Una transformació que preservi preserva ambdues parts de manera separada. Per tant, es poden estudiar per separat els grups que preserven les formes simètriques i les antisimètriques. El mateix és cert, mutatis mutandis, per a formes hermítiques i antihermítiques. Per aquest motiu, i per qüestions de classificació, només considerarem formes purament simètriques, antisimètriques, hermítiques o antihermítiques. Les formes normals de les formes corresponen a eleccions adequades de bases. Aquestes són bases que donen les següents formes normals en coordenades: {| class=wikitable |- | Forma bilineal simètrica en base (pseudo-) ortonormal: || |- | Forma bilineal simètrica en base ortonormal: || |- | Forma bilineal antisimètrica en base simplèctica: || |- | Forma sesquilineal hermítica: || |- | Forma sesquilineal antihermítica: ||
El factor de la forma antihermítica és el tercer element de la base de . A o es pot trobar una demostració de l'existència d'aquestes bases, de la Llei d'inèrcia de Sylvester, de la independència del nombre de signes positius i negatius, de i , en les formes simètriquesni hermítiques, així com de la presència o absència dels cossos en cada expressió. Hom anomena signatura de la forma al parell o de vegades a .
Explicació de l'aparició dels cossos : No existeixen formes bilineals no trivials sobre . En el cas bilineal simètric, només tenen signatura les formes sobre . En altres paraules, una forma complexa bilineal amb "signatura" es pot reduir, mitjançant un canvi de base, a una forma on tots els signes són "" en l'expressió anterior, mentre que això és impossibke en el cas real, on és independent de la base escollida. No obstant això, les formes hermítiques tenen una signatura independent de la base tant en el cas complex com en el cas quaterniònic (el cas real es redueix al cas simètric). Una forma antihermítica sobre un espai vectorial complex pren forma hermítica per multiplicació per , de tal manera que, en aquest cas, només interessa considerar .
Grups d'automorfismes miniatura|Hermann Weyl, autor de The Classical Groups. Weyl va fer contribucions substancials a la teoria de la representació dels grups clàssics. La primera secció presenta l'entorn general de treball. Les altres seccions tracten els diferents casos que sorgeixen com a grups d'automorfismes de formes bilineals i sesquilineals en espais vectorials de dimensió finita sobre , i .
Aut(φ) – el grup d'automorfismes Suposem que és una forma no degenerada en un espai vectorial de dimensió finita sobre , o . El grup d'automorfismes es defineix, basant-se en la condició (), com .
Tot té un adjunt respecte a definit per
Emprant aquesta definició a la condició (), hom pot veure que el grup d'automorfismes es pot expressar com
Fixem una base de . En termes d'aquesta base, escrivim
on són les components de . Aquesta expressió és convenient per a formes bilineals (les formes sesquilineals tenen expressions similars i es tracten més endavant). En notació matricial, tenim
i
de () on és la matriu . La condició de no ser degenerada significa que és invertible i, per tant, sempre existeix l'adjunt. Amb aquesta observació, podem escriure . L'àlgebra de Lie dels grups d'automorfismes es pot escriure immediatament. De manera abstracta, si i només si
per a tot , corresponent a la condició de () sota l'aplicació exponencial d'àlgebres de Lie, de tal manera que , o en una base
vista com a expansió en sèrie de potències de l'aplicació exponencial i la linealitat de les operacions. Recíprocament, suposem que . Llavors, emprant el resultat anterior, . Per tant, l'àlgebra de Lie es pot caracteritzar sense referència a una base, o l'adjunt, com .
A continuació es proporcionen les formes normals de per a cada grup clàssic. A partir d'aquesta forma normal, hom pot determinar directament la matriu . En conseqüència, les expressions () i () proporcionen expressions per a l'adjunt i per a les àlgebres de Lie. Això es demostra més endavant en la majoria de casos no trivials.
Cas bilineal Quan la forma és simètrica, hom diu que és . Quan és antisimètrica, hom diu que és . Això aplica tant al cas real com al cas complex. En el cas quaterniònic, és nul, ja que no existeixen formes bilineals no nul·les en els espais vectorials quaterniònics.
Cas real El cas real se subdivideix en dos casos: les formes simètriques i les formes antisimètriques, que cal tractar-les dd manera separada.
O(p, q) i O(n) – els grups ortogonals
Si és simètrica i l'espai vectorial és real, es pot escollir una base de manera que . El nombre de signes positius i negatius és independent de la base escollida. En el cas hom pot escriure , on és el nombre de signes positius i és el nombre de signes negatius, amb . Si , hom denota . En aquest cas, la matriu és
reordenant, si cal, els elements de la base. Llavors l'operació adjunt () esdevé , la qual es redueix a la transposada habitual quan o is 0. Hom pot trobar l'àlgebra de Lie utilitzant l'equació () (a continuació es detalla el cas de ), , i el grup d'acord amb () ve donat per . Els grups i són isomorfs per l'aplicació
on . Per exemple, l'àlgebra de Lie del grup de Lorentz es pot escriure com .Utilitzem per simbolitzar el subespai generat per . Naturalment, és possible una reordenació de tal manera que el bloc sigui el superior esquerre (o qualsevol altre bloc). Aquí, la "component de temps" apareix com a quarta coordenada en una interpretació física, i no com a primera, com podria ser més comú.
Sp(m, R) – el grup simplèctic real
Si és antisimètrica i l'espai vectorial és real, existeix una base on , amb . Per hom escriu En el cas hom escriu o . A partir de la forma normal, hom pot trobar . Si escrivim , on són matrius de dimensió , i es considera (),
hom troba l'àlgebra de Lie de , , i el grup ve donat per .
Cas complex Anàlogament al cas real, cal distingir dos subcasos: el cas simètric i el cas antisimètric; cadascun proporciona una família de grups clàssics.
O(n, C) – el grup ortogonal complex Si és simètrica i l'espai vectorial és complex, hom pot seleccionar una base on
i tots els signes són positius. En el cas , hom diu que el grup d'automorfismes és . L'àlgebra de Lie és un cas especial de : , i el grup ve donat per .
En termes de classificació d'àlgebres de Lie simples, cal considerar dos casos per : si és senar, el sistema d'arrels és ; si és parell, el sistema d'arrels és .
Sp(m, C) – el grup simplèctic complex
Per a antisimètrica i un espai vectorial complex, és certa la mateixa fórmula
que pel cas real. Per a hom escriu . En el cas hom escriu o . L'àlgebra de Lie és anàloga a la de , , i el grup està donat per .
Cas sesquilineal En el cas sesquilineal, hom estableix un punt d'estudi inicial lleugerament diferent en termes d'una base, . Les altres expressions que queden modificades són , ,
El cas real, clarament, no proporciona res de nou. Els casos complex i quaterniònic es tracten a continuació.
Cas complex Des d'un punt de vista qualitatiu, el fet de considerar formes antihermítiques (llevat d'isomorfisme) no proporciona grups addicionals; la multiplicació per fa que una forma antihermítica esdevingui hermítica, i viceversa. Per tant, només cal considerar el cas hermític.
U(p, q) i U(n) – els grups unitaris
Una forma hermítica no degenerada admet la següent forma normal: . Com en el cas bilineal, la signatura és independent de la base. El grup d'automorfismes es denota , o, en el cas de , . Si la notació esdevé . En aquest cas, pren la forma ,