En anàlisi matemàtica una funció es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en depèn únicament de la grandària dels canvis en però no del valor de (uniforme).
Definició Donats dos espais mètrics i , i llavors una funció es diu uniformement contínua en si per a qualsevol nombre real existeix tal que , implica que per a tot .
Una funció és uniformement contínua en un interval si per a tot existeix algun tal que per a tot es compleix que si , llavors .
A diferència de la continuïtat, on el valor de depèn del punt , en les funcions uniformement contínues, no.
Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció no és uniformement contínua a , però sí que ho és a .
Exemples La funció amb és contínua però no uniformement contínua. La funció és uniformement contínua en l'interval [0,1]. Tot polinomi de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.
Resultats De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert. Exemple: Si i . és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:"Si és un espai mètric compacte i un espai mètric, llavors tota funció contínua és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor) Si és una successió de Cauchy continguda en el domini de (no necessàriament convergent) i és una funció uniformement contínua, llavors també és una successió de Cauchy. Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.
Notes i referències
Categoria:Anàlisi matemàtica