En astrodinàmica, la integral de Jacobi (o la constant de Jacobi) és l'única quantitat invariant coneguda en el problema dels tres cossos restringit circular.Bibliothèque nationale de France . Rep el nom en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi. A diferència del problema dels dos cossos, l'energia i la quantitat de moviment del sistema no es conserven de manera separada i una solució analítica general not pot ser obtinguda. La integral de Jacobi s'ha utilitzat en la derivació de solucions en casos especials.

Definició Sistema sinòdic miniatura|Sistema sinòdic En un sistema sinòdic o corrotacional, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

on: és el moviment mitjà (T és el període orbital). , , per les dues masses m1 i m₂, i la constant gravitacional G. són distàncies a la tercera massa des de les dues masses majors.

El primer terme fa referència a l'energia potencial centrífuga, el segon representa el potencial gravitatori i el tercer és l'energia cinètica. En el sistema de referència sinòdic, les forces que actuen sobre la partícula són les dues atraccions gravitatòries, la força centrífuga i la força de Coriolis. Donat que les tres primeres forces són derivades de potencials i la força de Coriolis és perpendicular a la trajectòria, totes les forces són conservatives. Per tant, l'energia mesurada en aquest sistema de referència (i, per tant, l'integral de Jacobi) és una constant de moviment.

Sistema sideral miniatura|Sistema inercial En un sistema inercial sideral (ξ, η, ζ), les masses orbiten el baricentre. En aquest sistema, la constant de Jacobi s'expressa de la següent manera:

Derivació En un sistema corrotacional, les acceleracions poden expressar-se com les derivades d'una sola funció escalar

Emprant una representació lagrangiana de les equacions de moviment: (equació 1) (equació 2) (equació 3)

Multiplicant les equacions (1), (2) i (3) per i respectivament, i sumant-les, resulta

La integració d'aquesta expressió és

on CJ és la constant d'integració. El costat esquerre representa el quadrat de la velocitat v de la partícula menor en el sistema corrotacional.

Vegeu també Sistema de referència en rotació Criteri de Tisserand

Notes

Bibliografia Carl D. Murray i Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglaterra: Cambridge University Press, 1999], pàgines 68–71. ()

Categoria:Mecànica celeste