miniatura|La gràfica de la funció 1/Γ(x) al llarg de l'eix real. miniatura|Funció gamma inversa al pla complex. El color d'un punt z codifica el valor de . Els colors forts denoten valors prop de zero i el matís codifica l'argument del valor. En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:
on denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el no creix més ràpid que el ), però de tipus infinit (el que significa que creix més ràpid que qualsevol múltiple de , ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a al pla esquerre).
Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.
Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.
Desenvolupament en producte infinit Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:
on és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos .
Sèries de Taylor Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de
on és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a , el coeficient per al terme es pot calcular recursivament comWrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
on és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function . HAL archives, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01029331v1
Per a valors petits, aquesta dona els següents valors: 1 +1.0000000000000000000000000000000000000000 2 +0.5772156649015328606065120900824024310422 3 −0.6558780715202538810770195151453904812798 4 −0.0420026350340952355290039348754298187114 5 +0.1665386113822914895017007951021052357178 6 −0.0421977345555443367482083012891873913017 7 −0.0096219715278769735621149216723481989754 8 +0.0072189432466630995423950103404465727099 9 −0.0011651675918590651121139710840183886668 10 −0.0002152416741149509728157299630536478065 11 +0.0001280502823881161861531986263281643234 12 −0.0000201348547807882386556893914210218184 13 −0.0000012504934821426706573453594738330922 14 +0.0000011330272319816958823741296203307449 15 −0.0000002056338416977607103450154130020573 16 +0.0000000061160951044814158178624986828553 17 +0.0000000050020076444692229300556650480600 18 −0.0000000011812745704870201445881265654365 19 +0.0000000001043426711691100510491540332312 20 +0.0000000000077822634399050712540499373114 21 −0.0000000000036968056186422057081878158781 22 +0.0000000000005100370287454475979015481323 23 −0.0000000000000205832605356650678322242954 24 −0.0000000000000053481225394230179823700173 25 +0.0000000000000012267786282382607901588938 26 −0.0000000000000001181259301697458769513765 27 +0.0000000000000000011866922547516003325798 28 +0.0000000000000000014123806553180317815558 29 −0.0000000000000000002298745684435370206592 30 +0.0000000000000000000171440632192733743338
Una aproximació per a es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:
on , i és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.
Desenvolupament asimptòtic Com tendeix a l'infinit a una constant tenim:
Representació integral de contorn Una representació integral segons Hermann Hankel és
on és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.
Representacions integrals en els enters positius Per a enters positius , hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per
.
De la mateixa manera, per a qualsevol real i es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:
on el cas particular quan proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, .
Integral al llarg de l'eix real La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor
que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.
Referències
Bibliografia Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld
Vegeu també Funció de Bessel-Clifford Distribució gamma inversa
Categoria:Funcions especials