En geometria, un políedre uniforme és un políedre que té polígons regulars com a cares i és vèrtex-transitiu (transitiu en els seus vèrtexs, isogonal, és a dir, hi ha una isometria que és una aplicació d'un vèrtex sobre qualsevol altre). D'aquí segueix que tots els vèrtexs són congruents, i el políedre té un elevat grau de simetria de reflexió i rotacional.
Els políedres uniformes es poden dividir en formes convexes amb cares de polígons regulars convexos i formes estelades. Les formes estelades tenen o bé cares de polígons estelats o figures de vèrtexs, o ambdós.
La següent llista inclou: Els 75 políedres uniformes no prismàtics Alguns representants dels conjunts infinits de prismes i antiprismes Un políedre degenerat, la figura de Skilling amb arestes sobreposades
El 1970 es provà que només existeixen 75 políedres uniformes a part de les famílies infinites de prismes i antiprismes. John Skilling descobrí un exemple degenerat que havia passat per alt, relaxant les condicions que només dues cares es poden trobar en una aresta. Aquest és un políedre uniforme degenerat més que no pas un políedre uniforme, ja que alguns parells d'arestes coincideixen.
La llista no inclou: 40 políedres uniformes amb figures de vèrtexs degenerades que tenen arestes sobreposades (no comptats per Coxeter) Les tessel·lacions uniformes (políedres infinits) 11 tessel·lacions euclidianes uniformes amb cares convexes 14 tessel·lacions euclidianes uniformes amb cares no convexes Nombre infinit de tessel·lacions uniformes al pla hiperbòlic
Indexació Quatre sistemes de numeració són d'ús comú pels políedres uniformes, distingits per lletres:
[C] Coxeter et al., 1954, mostrà les formes convexes (figures 15 a 132); tres formes prismàtiques (33-35); i les formes no convexes (36-92). [W] Wenninger, 1974, té 119 figures: 1-5 pels sòlids platònics, 6-18 pels sòlids arquimedians, 19-66 per les formes estelades incloent-hi els 4 políedres regulars no convexos, i 67-119 pels políedres uniformes no convexos. [K] Kaleido, 1993: les 80 figures estaven agrupades per simetria: 1-5 com a representants de les famílies infinites de formes prismàtiques amb simetria dièdrica, 6-9 amb simetria tetraèdrica,10-26 amb simetria octaèdrica, 46-80 amb simetria icosaèdrica. [U] Mathematica, 1993, segueix la sèrie Kaleido amb les 5 formes prismàtiques mogudes al final, de tal manera que les formes no prismàtiques esdevenen 1-75.
Llista de políedres Les formes convexes són llistades per ordre de grau de configuració de vèrtexs des de 3 cares/vèrtex en amunt, i en costats incrementant per cara. Aquesta ordenació permet que es vegin les similituds topològiques.
Políedres uniformes convexos Nom Imatge Tipus devèrtex Símbol deWythoff Sím. C# W# U# K# Vèrtexs Arestes Cares Cares per tipus Tetràedre 60px 50px3.3.3 3 | 2 3 Td C15 W001 U01 K06 4 6 4 4{3} Prisma triangular 60px 50px3.4.4 2 3 | 2 D3h C33a -- U76a K01a 6 9 5 2{3}+3{4} Tetràedre truncat 60px 50px3.6.6 2 3 | 3 Td C16 W006 U02 K07 12 18 8 4{3}+4{6} Cub truncat 60px 50px3.8.8 2 3 | 4 Oh C21 W008 U09 K14 24 36 148{3}+6{8} Dodecàedre truncat 60px 50px3.10.10 2 3 | 5 Ih C29 W010 U26 K31 60 90 32 20{3}+12{10} Cub 60px 50px4.4.4 3 | 2 4 Oh C18 W003 U06 K11 8 12 66{4} Prisma pentagonal 60px 50px4.4.5 2 5 | 2 D5h C33b -- U76b K01b 10 15 7 5{4}+2{5} Prisma hexagonal 60px 50px4.4.6 2 6 | 2 D6h C33c -- U76cK01c 12 18 8 6{4}+2{6} Prisma octogonal 60px 50px4.4.8 2 8 | 2 D8h C33e -- U76e K01e 16 24 10 8{4}+2{8} Prisma decagonal 60px 50px4.4.10 2 10 | 2 D10h C33g -- U76g K01g 20 30 12 10{4}+2{10} Prisma dodecagonal 60px 50px4.4.12 2 12 | 2 D12h C33i -- U76i K01i 24 36 14 12{4}+2{12} Octàedre truncat 60px 50px4.6.6 2 4 | 3 Oh C20 W007 U08 K13 24 36 14 6{4}+8{6} Cuboctàedre truncat 60px 50px4.6.8 2 3 4 | Oh C23 W015 U11 K16 48 72 26 12{4}+8{6}+6{8} Icosidodecàedre truncat 60px 50px4.6.10 2 3 5 | Ih C31 W016 U28 K33 120 180 62 30{4}+20{6}+12{10} Dodecàedre 60px 50px5.5.5 3 | 2 5 Ih C26 W005 sub-23 K28 20 30 12 12{5} Icosàedre truncat 60px 50px5.6.6 2 5 | 3 Ih C27 W009 U25 K30 60 90 32 12{5}+20{6} Octàedre 60px 50px3.3.3.3 4 | 2 3 Oh C17 W002 U05 K10 6 12 8 8{3} Antiprisma quadrat 60px 50px3.3.3.4 | 2 2 4 D4d C34a -- U77a K02a 8 16 10 8{3}+2{4} Antiprisma pentagonal 60px 50px3.3.3.5 | 2 2 5 D5d C34b -- U77b K02b 10 20 12 10{3}+2{5} Antiprisma hexagonal 60px 50px3.3.3.6 | 2 2 6 D6d C34c -- U77c K02c 12 24 14 12{3}+2{6} Antiprisma octagonal 60px 50px3.3.3.8 | 2 2 8 D8d C34e -- U77e K02e 16 32 18 16{3}+2{8} Antiprisma decagonal 60px 50px3.3.3.10 | 2 2 10 D10d C34g -- U77gK02g 20 40 22 20{3}+2{10} Antiprisma dodecagonal 60px 50px3.3.3.12 | 2 2 12 D12d C34i -- U77iK02i 24 48 26 24{3}+2{12} Cuboctàedre 60px 50px3.4.3.4 2 | 3 4 Oh C19 W011 U07 K12 12 24 14 8{3}+6{4} Rombicuboctàedre 60px 50px3.4.4.4 3 4 | 2 Oh C22 W013 U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4} Rombicosidodecàedre 60px 50px3.4.5.4 3 5 | 2 Ih C30 W014 U27 K32 60 120 62 20{3}+30{4}+12{5} Icosidodecàedre 60px 50px3.5.3.5 2 | 3 5 Ih C28 W012 U24 K29 30 60 32 20{3}+12{5} Icosàedre 60px 50px3.3.3.3.3 5 | 2 3 Ih C25 W004 U22 K27 12 30 20 20{3} Cub xato 60px 50px3.3.3.3.4 | 2 3 4 O C24 W017 U12 K17 24 60 38 (8+24){3}+6{4} Dodecàedre xato 60px 50px3.3.3.3.5 | 2 3 5 I C32 W018 U29 K34 60 150 92 (20+60){3}+12{5}
Políedres uniformes estelats