400px|miniatura|En un robot industrial de tipus antropomòrfic, com el de la figura, els motors controlen els angles relatius entre les barres. Cal aplicar la trigonometria per determinar els angles que ha d'assolir per tal que la mà del robot se situï en una posició donada. La trigonometria (del grec: "la mesura de triangles") és una branca de les matemàtiques que tracta les relacions internes dels triangles. Té relació directa amb la geometria, sent una de les bases de la geometria analítica. Les magnituds essencials que s'utilitzen són la distància i l'angle.
Té moltes aplicacions: la tècnica de la triangulació s'usa en astronomia per a mesurar la distància a estels propers, en topografia per a fer mapes i en sistemes de navegació per satèl·lit.
La branca de la trigonometria anomenada trigonometria esfèrica estudia els triangles que es dibuixen sobre esferes.
Història Primeres tècniques de mesura de triangles Els orígens de la trigonometria es retrotrauen a les civilitzacions de l'antic Egipte, de Mesopotàmia i de la vall de l'Indus, fa més de 4000 anys. Sembla que els babilonis van basar la trigonometria en un sistema numèric de base 60. Els astrònoms sumeris van estudiar la mesura dels angles, utilitzant una divisió de cercles en 360 graus. Extract of page 275 Lagadha (1350 aC; 1200 aC) va ser el primer matemàtic a fer servir la geometria i la trigonometria per a l'astronomia. La majoria dels seus treballs s'han destruït.
La primera utilització de sinus apareix en els sulba Sutras a l'Índia, entre 800 aC i 500 aC, on es calcula correctament el sinus de π/4 (45°) obtenint 1/sqrt(2) en un problema de construcció d'un cercle d'igual àrea que un quadrat donat (el contrari de la quadratura del cercle).
Els astrònoms grecs i desenvolupament al món musulmà Al segle III aC, matemàtics hel·lenístics com Euclides i Arquímedes van estudiar les propietats de les cordes i els angles inscrits en cercles, i van demostrar teoremes que són equivalents a les fórmules trigonomètriques modernes, tot i que les van presentar geomètricament més que no algebraicament. El matemàtic grec Hiparc de Nicea (190 aC; 120 aC) va construir les primeres taules trigonomètriques sota la forma de taules de cordes: feien correspondre a cada valor de l'angle en el centre, la longitud de la corda abastada per l'angle en la circumferència d'un radi fix donat. Aquest càlcul correspon al doble del sinus de l'angle meitat, i dona doncs, de certa manera, el que avui es diu una taula de sinus. Tanmateix, com que les taules d'Hiparc no han arribat fins a nosaltres, no són conegudes més que pel matemàtic egipci Claudi Ptolemeu, que les va publicar, en els anys 100, juntament amb les instruccions per construir-les al seu Almagest. Ptolemeu va utilitzar la longitud de la corda per definir les seves funcions trigonomètriques, una diferència menor de la convenció sinus que es fa servir en l'actualitat. (el valor que anomenem sin(θ) es pot trobar buscant la longitud de la corda per dues vegades l'angle d'interès (2θ) a la taula de Ptolemeu, i després dividint aquest valor per dos.) Van passar segles abans que es produïssin taules més detallades, i el tractat de Ptolemeu es va mantenir en ús per realitzar càlculs trigonomètrics en astronomia durant els següents 1.200 anys als mons medievals romà d'Orient, l'islàmic i, més tard, els mons d'Europa occidental. És així com serien les taules descobertes al final de l'edat mitjana per Georg von Purbach i el seu alumne Regiomontanus.
El matemàtic indi Aryabhata, en 499, dona una taula dels sinus i dels cosinus. Fa servir la paraula zya per a sinus, kotizya per a cosinus i otkram zya per la inversa del sinus. Introdueix també el versinus. Aquestes obres gregues i índies van ser traduïdes i ampliades per matemàtics islàmics medievals. L'any 830 d.C., el matemàtic persa Habash al-Hasib al-Marwazi va produir la primera taula de cotangents.Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Al , en el treball del matemàtic persa Abū al-Wafā' al-Būzjānī, es van utilitzar les sis funcions trigonomètriques. Abu al-Wafa tenia taules de sinus en increments de 0,25 °, amb 8 decimals de precisió i taules precises de valors tangents. També va fer innovacions importants en trigonometria esfèrica.Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74–83
Un altre matemàtic indi, Brahmagupta, en 628 fa servir la interpolació numèrica per calcular el valor dels sinus fins al segon ordre.
Omar Khayyam (1048-1131) combina la utilització de la trigonometria i la teoria de l'aproximació per subministrar mètodes de resolució d'equacions algebraiques a través de la geometria. El matemàtic Bhaskara II el 1150 escriu mètodes detallats de construccions de taules de sinus i cosinus per a tots els angles. Desenvolupa també la trigonometria esfèrica. Al , Nassir-ad-Din at-Tussí, a partir dels resultats de Bhaskara, és probablement un dels primers a considerar la trigonometria com una disciplina diferent de les matemàtiques. Finalment, al , al-Kaixí realitza taules de funcions trigonomètriques pels seus estudis en astronomia.
A Europa: redescobriment de Ptolemeu A Europa, la trigonometria es desenvolupa cap a mitjans del amb la traducció al llatí de les obres de Ptolemeu. Els pioners en aquest àmbit són Georg von Purbach i sobretot el seu estudiant Regiomontanus. Segueixen al començament del els tractats d'Oronce Finé, Pedro Nunes i Joachim Rheticus. El matemàtic silesià Bartholomeo Pitiscus publica un treball destacable sobre trigonometria el 1595, el títol del qual (Trigonometria) ha donat nom a la disciplina. És el matemàtic flamenc Adrien Romain qui va introduir la notació moderna .
Conceptes bàsics Angle
miniatura|Un angle. La lletra θ indica el nom de l'angle (i la seva mesura), el petit arc al seu costat indica a quina de les dues regions del pla, que determinen les dues semirectes, correspon l'angle, s és l'arc traçar sobre la circumferència de radi r. Un angle és la regió del pla limitada per dues semirectes d'origen comú. En el concepte d'angle, no importa ni l'origen ni l'orientació de les semirectes, per tant, es diu que dos angles són iguals, si amb una translació i una rotació es poden fer coincidir l'origen i les dues semirectes. Dues semirectes parteixen el pla en dues regions. Per tant, per determinar un angle cal indicar a quina de les dues regions correspon l'angle. Això es fa dibuixant un arc centrat en l'origen comú que va des d'una de les semirectes fins a l'altra passant per la regió que correspon a l'angle.
Mesura d'angles Els angles es mesuren basant-se en la magnitud de la rotació que cal aplicar a una de les semirectes perquè coincideixi amb l'altra. Hi ha dues maneres "naturals" per mesurar una rotació, una és la fracció d'una volta sencera que representa la rotació que s'està mesurant, i l'altre és mesurant la longitud de l'arc i dividir-la entre el radi.
Aquestes dues maneres, corresponen a les unitats més freqüentment utilitzades per a mesurar angles: El radian (també escrit radiant, símbol: rad), que és un angle central del qual mesura el mateix, el radi, que l'arc que l'acopsa. Un radiant= 180/π° que és més o menys uns 57,29577951°. El grau sexagesimal (símbol °) és l'altra unitat que normalment s'utilitza. És una 360a part d'una volta. I és igual a π/180 radiants que és més o menys uns 0,0174533 radiants.
La mesura d'angles fent servir radiants, simplifica les expressions de les identitats trigonomètriques i les equacions de la física, però, perquè estigui ben definida, cal demostrar primer que el resultat de mesurar un angle és independent del radi que es faci servir per a mesurar l'arc, altrament, el mateix angle donaria diferents mesures, depenent del radi de l'arc. Per demostrar aquesta independència, cal fer servir el teorema de Tales i aproximar l'arc per infinites cordes.
A més d'aquestes unitats n'hi ha d'altres: La volta (o revolució), correspon a una volta sencera, equival a 2π radians o 360 °. Es fa servir principalment en la mesura de velocitats angulars (voltes per minut o revolucions per minut). L'angle recte, correspon a un quart de volta, es fa servir en expressions com: la suma dels angles d'un triangle és igual a dos rectes. Equival a 90° o π/2 radians, El grau centesimal és la centèsima part d'un recte o la 400a part d'una volta.
La rotació que cal aplicar a una semirecta per tal que coincideixi amb l'altra com a màxim pot ser d'una volta. Per tant, tal com s'ha definit l'angle, només pot tenir una mesura entre 0 i 360°. En matemàtiques s'estén la definició d'angle per tal que tinguin sentit angles de més de 360° i menys de 0°, assimilant l'angle a la rotació, rotacions de més d'una volta corresponen a angles de més de 360°, i rotacions en sentit contrari del convingut corresponen a angles negatius.
Triangles
Un triangle és una figura formada per tres línies que s'intersequen cada dues en un punt, formant tres angles. Si les línies són rectes el triangle és pla.
Els triangles es classifiquen segons la longitud dels seus costats en: equilàter (tots tres costats d'igual longitud), isòsceles (dos costats iguals) i escalens (tots tres costats diferents); o segons la mesura dels seus angles: rectangles (un angle recte), obtusangles (un angle obtús), o acutangles (tots tres angles aguts).
La importància dels triangles i de la trigonometria, ve de què qualsevol polígon es pot dividir en triangles i estudiant aquests triangles es pot estudiar el polígon, per exemple per a calcular l'àrea, distàncies entre vèrtex, valors d'angles, etc. En el cas de les superfícies limitades per línies corbes, també es poden estudiar aproximant-les per polígons de molts vèrtexs. El mètode d'exhaustió és un mètode per a calcular ares limitades per línies corbes a base d'exhaurir l'aproximació per polígons portant-la al límit d'infinits polígons.
La major part de la trigonometria descansa en la utilització de les funcions trigonomètriques, però hi ha molts casos en què es poden resoldre problemes referents a triangles aplicant una sèrie de teoremes que no necessiten la utilització de les funcions trigonomètriques:
El primer teorema de Tales estableix que: si dos triangles són semblants (tenen tots els angles iguals) les longituds dels costats corresponents (un costat del primer triangle, es correspon amb un costat del segon si els angles oposats són iguals) mantenen una proporció constant. Això permet calcular les longituds dels altres costats d'un triangle si es coneix la longitud d'un dels costats i també es coneixen les longituds de tots els costats d'un altre triangle que sigui semblant a ell. Això també permet definir les funcions trigonomètriques a partir del triangle rectangle perquè assegura que el resultat serà independent de la mida del triangle rectangle que es faci servir.
El segon teorema de Tales afirma que l'angle amb què els punts d'una circumferència veuen el diàmetre és de 90 ° (és un cas particular de larc capaç).
El teorema de Pitàgores diu que en qualsevol triangle rectangle, el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats de les longituds dels catets. Això permet, pel cas de triangles rectangles, calcular la longitud d'un dels costats si es coneixen les longituds dels altres dos. En cas de triangles qualsevulla, de vegades es poden dividir en dos triangles rectangles i aplicar el teorema de Pitàgores.
Altres teoremes útils pel càlcul de triangles que no fan servir directament funcions trigonomètriques són el teorema de l'altura i el teorema del catet.
Funcions trigonomètriques miniatura|Les funcions trigonomètriques especifiquen les relacions entre els costats i els angles interiors d'un triangle rectangle. miniatura|Totes les funcions trigonomètriques d'un angle θ es poden construir geomètricament en termes de la circumferència goniomètrica.