miniatura|Un tor és una superfície orientable. miniatura|La cinta de Möbius és una superfície no orientable. Noteu que el cranc que recorre la cinta intercanvia la seva dreta i la seva esquerra amb cada circulació completa. Això no passaria si el cranc fos en un tor. miniatura|La superfície de Steiner és no orientable.
En matemàtiques, lorientabilitat és una propietat de les superfícies en l'espai euclidià que mesura si és possible fer una elecció consistent del vector normal a la superfície a cada punt. Una elecció del vector normal permet utilitzar la regla de la mà dreta per definir un sentit "horari" dels camins tancats de la superfície, com per exemple en el teorema de Stokes. Més en general, l'orientabilitat d'una superfície abstracta, o d'una varietat, mesura si hom pot escollir de manera consistent un sentit "horari" per a tots els bucles de la varietat. Equivalentment, una superfície és orientable si una figura bidimensional com 20x20px en l'espai no es pot moure (contínuament) al voltant de l'espai i de nou tornar-la al punt inicial, de manera que sembli la seva pròpia imatge especular 20x20px.
La idea d'orientabilitat també es pot generalitzar per a varietats de dimensions majors. Una varietat és orientable si admet una elecció compatible d'orientació, i una varietat orientable connexa té exactament dues orientacions possibles. Amb aquestes idees bàsiques, se'n poden donar diverses formulacions equivalents, depenent de l'aplicació desitjada i el nivell de generalitat. Les formulacions aplicables a les varietats topològiques en general utilitzen sovint mètodes de teoria d'homologia, mentre que per a varietats diferenciables hom disposa de més estructura, la qual cosa permet una formulació en termes de formes diferencials. Una generalització important de la idea d'orientabilitat d'un espai és la d'orientabilitat d'una família d'espais parametritzada per algun altre espai (un fibrat) per la qual cal seleccionar una orientació dins cadascun dels espais, i que varia contínuament respecte a canvis en els valors del paràmetre.
Superfícies orientables miniatura|En aquesta animació s'utilitza una analogia simple, un engranatge que gira segons la regla de la mà dreta en el vector normal d'una superfície. L'orientació de les corbes donades per les fronteres ve donada per la direcció en la qual es mouen els punts quan són empesos per l'engranatge. En una superfície no orientable, com la cinta de Möbius, la frontera hauria de moure's en ambdues direccions alhora, la qual cosa no és possible. Una superfície S en l'espai euclidià R3 és orientable si una figura bidimensional (per exemple, 20x20px) no es pot moure al voltant de la superfície, sense abandonar-la, i portar-la de nou al punt inicial de tal manera que sembli la seva pròpia imatge especular de mirall pròpia (20x20px). Altrament, hom diu que la superfície és no-orientable. Una superfície abstracta (és a dir, una varietat bidimensional) és orientable si hom pot definir de manera consistent el concepte de rotació horària al voltant de la superfície de manera contínua. És a dir, un bucle que gira d'una manera en la superfície mai no pot ser contínuament deformat (sense auto-intersecar-se) en un bucle que gira en sentit contrari. Això resulta ser equivalent a la qüestió de si la superfície no conté cap subconjunt que sigui homeomorf a la cinta de Möbius. Així, per a superfícies, hom pot pensar que la cinta de Möbius és la font de tota no-orientabilitat.
En el cas d'una superfície orientable superfície, una elecció compatible de gir "en el sentit de les agulles del rellotge" s'anomena orientació, i de la superfície se'n diu orientada. Per a superfícies immerses en l'espai euclidià, hom pot especificar una orientació mitjançant l'elecció d'una superfície normal n a cada punt que canviï de forma contínua. Si existeix una tal superfície normal, llavors sempre hi ha dues maneres d'escollir-la: n o −n. En general, una superfície orientable admet exactament dues orientacions, i la distinció entre una superfície orientada i una d'orientable és subtil i de vegades es confon. Una superfície orientable és una superfície abstracta que admet una orientació, mentre que una superfície orientada és una superfície que és orientable de manera abstracta, i a més permet escollir una de les dues orientacions possibles.
Exemples
La majoria de superfícies que hom pot trobar en el món físic són orientables. Les esferes, els plans, i els tors són orientables, per exemple. Però les cintes de Möbius, els plans projectius reals, i les ampolles de Klein són no orientable. Aquests últims, quan es visualitzen en 3 dimensions, tenen només un costat. El pla projectiu real i l'ampolla de Klein no es poden submergir en R3 sense auto-interseccions.
Cal notar que, de manera local, una superfície submergida sempre té dos costats. L'essència de tenir un sol costat és que es pot passar d'un costat a l'altre sense passar a través de la superfície ni girar per sobre de la vora, sinó simplement recorrent la superfície.
En general, la propietat de ser orientable no és equivalent al fet de tenir dues cares; tanmateix, això és cert quan l'espai ambient (com R3) és orientable. Per exemple, un tor immers dins pot tenir una sola cara, i una ampolla de Klein en el mateix espai pot tenir dues cares; aquí, K² denota l'ampolla de Klein.
Orientació per triangulació
Tota superfície admet una triangulació: una descomposició en triangles tal que cada aresta d'un triangle está enganxada a, com a molt, una altra aresta. Cada triangle admet una orientació, tot escollint un sentit al voltant del perímetre del triangle, i associant un sentit a cada aresta del triangle. Si això és fet de tal manera que les arestes en contacte tinguin sentits oposats, llavors això determina una orientació de la superfície. Una tal elecció només és possible si la superfície és orientable, i en aquest cas hi ha exactament dues orientacions diferents.
Si la figura 20x20px es pot col·locar de manera consistent en tots els punts de la superfície sense convertir-se en la seva imatge especular, llavors això induirà una orientació en el sentit anterior sobre cadascun dels triangles de la triangulació, mitjançant la selecció del sentit de cada triangle, basat en l'ordre vermell-verd-blau dels colors de qualsevol de les figures en l'interior del triangle.
Aquesta aproximació es pot generalitzar a qualsevol n-varietat que tingui una triangulació. Tanmateix, algunes 4-varietats no admeten cap triangulació, i en general per algunes n-varietats tenen triangulacions que no són equivalents.
Orientabilitat i homologia
Si H1(S) denota el primer grup d'homologia d'una superfície S, llavors S és orientable si i només si H1(S) té un subgrup de torsió trivial. Més concretament, si S és orientable, llavors H1(S) és un grup abelià lliure, i si no és orientable llavors , on F és abelià lliure, i el factor Z/2Z està generat per la corba mitja d'una cinta de Möbius immersa en S.
Orientabilitat de varietats Sigui M una n-varietat topològica connexa. Hi ha diverses definicions possibles de què significa que M sigui orientable. Algunes d'aquestes definicions requereixen que M tingui una estructura addicional, com ara ser diferenciable. El cas cal tractar-lo individualment. Quan més d'una d'aquestes definicions apliquen a M, llavors M és orientable sota una definició si i només si és orientable sota les altres.
Orientabilitat de varietats diferenciables Les definicions més intuïtives requereixen que M sigui una varietat diferenciable. Això significa que les funcions de transició en l'atles de M són funcions C¹. Una tal funció admet un determinant jacobià. Quan el determinant jacobià és positiu, es diu que la funció de transició conserva l'orientació. Un atles orientat en M és un atles pel qual totes les funcions de transició conserven l'orientació. Es diu que M és orientable si admet un atles orientat. Quan , una orientació de M és un atles orientat màxim (en el cas , una orientació de M és una funció M → {±1}).
L'orientabilitat i les orientacions també es poden expressar en termes del fibrat tangent. El fibrat tangent és un fibrat vectorial, de tal manera que és un fibrat amb grup estructural . És a dir, les funcions de transició de la varietat indueixen funcions de transició en el fibrat tangent que són transformacions lineals en cada fibra. Si el grup estructural es pot reduir al grup de matrius amb determinant positiu, o equivalentment si existeix un atles amb funcions de transició que determinen una transformació lineal que conserva l'orientació en cada espai tangent, llavors la varietat M és orientable. Recíprocament, M és orientable si i només si el grup estructural del fibrat tangent es pot reduir d'aquesta manera.
Una altra manera de definir les orientacions en una varietat diferenciable és a través de formes de volum. Una forma de volum és una secció ω de ⋀n T∗M, la major potència exterior del fibrat cotangent de M, que no s'anul·la enlloc. Per exemple, Rn té una forma de volum estàndard donada per . Donada una forma de volum sobre M, la col·lecció de totes les cartes per la qual el volum estàndard admet un pull-back a un múltiple positiu de ω és un atles orientat. L'existència d'una forma de volum és, per tant, equivalent a l'orientabilitat de la varietat.
Les formes de volum i els vectors tangents es poden combinar per donar encara una altra descripció d'orientabilitat. Si és una base de vectors tangents en un punt p, llavors hom diu que la base és dretana si . Una funció de transició conserva l'orientació si i només si envia bases dretanes a bases dretanes. L'existència d'una forma de volum implica una reducció del grup estructural del fibrat tangent o el fibrat de referències a . Anàlogament al cas anterior, això implica l'orientabilitat de M. Recíprocament, si M és orientable, llavors hom pot combinar les formes de volum locals per crear una forma de volum global, on l'orientabilitat és necessària per a assegurar que la forma global no s'anul·la enlloc.
Homologia i orientabilitat de varietats generals Totes les definicions anteriors sobre l'orientabilitat d'una varietat diferenciables contenen la idea d'una orientació que conservi les funcions de transició. Això suscita la qüestió què és el que conserven exactament aquestes funcions de transició. No poden conservar una orientació de la varietat perquè una orientació de la varietat és un atles, i no té sentit dir que una funció de transició conservi o no un atles del qual forma part..
Aquesta qüestió es pot resoldre definint orientacions locals. Sobre una varietat unidimensional, una orientació local al voltant d'un punt p correspon a l'elecció d'un concepte "esquerra" i "dreta" a prop del punt. En una varietat bidimensional, correspon a una elecció de "sentit horari" i "sentit antihorari". Aquestes dues situacions comparteixen la característica de què es descriuen en termes d'un comportament de dimensió màxima al voltant de p però al mateix p. En un cas general, sigui M una n-varietat topològica. Una orientació local de M al voltant d'un punt p és una elecció del generador del grup