En matemàtiques, els polinomis de Bateman Fn són una família de polinomis ortogonals introduïda per Bateman (1993). Els polinomis de Bateman-Pasternack són una generalització introduïda per Pasternack (1939).

Els polinomis de Bateman es poden definir mitjançant la relació

on Pn és un polinomi de Legendre. En termes de funcions hipergeomètriques generalitzades, estan donades per

Pasternack (1939) va generalitzar els polinomis de Bateman en forma de polinomis F amb

Aquests polinomis generalitzats també tenen una representació en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades

Carlitz (1957) va demostrar que els polinomis Qn van ser estudiats per Touchard (1956); vegeu els polinomis de Touchard, són els mateixos que els polinomis de Bateman fins a un canvi de variable, més precisament

Els polinomis de Bateman i Pasternack són casos especials dels polinomis continus de Hahn simètrics.

Definició Bateman va definir inicialment els polinomis en termes de la funció hipergeomètrica i una sèrie generatriu:

Una definició equivalent de la funció hipergeomètrica generalitzada és:

Bateman també va demostrar que aquests polinomis satisfan una relació de recurrència: , amb . En particular, aquesta relació estableix que el grau de és exactament .

Exemples miniatura|Polinomis de Bateman Els primers polinomis de Bateman són:

Propietats Ortogonalitat Els polinomis de Bateman satisfan la relació d'ortogonalitat

on és la delta de Kronecker. En particular, no es tracten de polinomis ortonormals, però podem escriure que verifiquen , els «polinomis de Bateman normalitzats».

El factor es produeix a la part dreta d'aquesta equació perquè els polinomis de Bateman, tal com es defineixen aquí, han de ser escalats per un factor per fer que siguin ben valorats per l'argument imaginari. La relació d'ortogonalitat és més simple quan s'expressa en termes d'un conjunt modificat de polinomis definits per , per la qual cosa es converteix en

Relació de recurrència La seqüència dels polinomis de Bateman satisfà la relació de recurrència

Funció generatriu Els polinomis de Bateman tenen la funció generatriu

que de vegades s'utilitza per definir-los.

Referències

Bibliografia

Categoria:Polinomis ortogonals