La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres sobre T que conté tots els conjunts oberts de T (o, equivalentment, tots els conjunts tancats de T);títol=Real analysis: modern techniques and their applications|editorial=New York J. Wiley & sons|data=1999|lloc=Chichester Weinheim [etc.]|isbn=978-0-471-31716-6|nom=Gerald B.|cognom=Folland|pàgines=22}} en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts (o tancats) de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat d'aquesta σ-àlgebra es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.
El concepte pren el nom del matemàtic francès Émile Borel.
Propietats Designarem per la -àlgebra de Borel sobre espai topològic
σ-àlgebra de Borel sobre un subconjunt Recordem que si és una -àlgebra sobre un conjunt i és un subconjunt arbitrari, aleshores la família de conjunts és una -àlgebra sobre que s'anomena la -àlgebra traça sobre .
Sigui un espai topològic i considerem un subconjunt amb la topologia traça o topologia induïda) i la corresponent -àlgebra de Borel sobre , . Aleshores
σ-àlgebra de Borel sobre un producte de conjunts Siguin i dos espais mesurables. Recordem que la -àlgebra producte sobre és la -àlgebra generada pels conjunts de la forma , amb i .
Siguin i dos espais topològics i considerem amb la topologia producte. Aleshores A més, si i són espais mètrics separables, llavors val la igualtat:títol=Real analysis: modern techniques and their applications|editorial=New York J. Wiley & sons|data=1999|lloc=Chichester Weinheim [etc.]|isbn=978-0-471-31716-6|nom=Gerald B.|cognom=Folland|pàgines=23}}
σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt del nombres reals Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombres reals , que designarem per . Donat que tot conjunt obert de és la reunió d'un nombre finit o infinit numerable d'intervals oberts disjunts, és la mínima σ-àlgebra sobre que conté tots els intervals oberts de . Tenim les següents caracteritzacions (entre altres): És la mínima σ-àlgebra a que conté: Tots els intervals oberts. Tots els intervals tancats. Tots els intervals de la forma amb . totes les semirectes de la forma . totes les semirectes de la forma .
La raó és que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple, . Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anteriors n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple, és la σ-àlgebra generada per la família . Es diu que és una σ-àlgebra separable o numerablement generada
Una propietat important és que té el mateix cardinal que
σ-àlgebra de Borel sobre ℝn De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre , que es designa per : és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts o semioberts , etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals.
Tenim que
Vegeu també Sigma-àlgebra Mesura (matemàtiques) Espai de probabilitat Conjunt obert
Referències
Categoria:Topologia