En matemàtiques, un grup de Carnot és un grup de Lie nilpotent simplement connex, juntament amb la derivació de la seva àlgebra de Lie tal que el subespai de valor propi igual a 1 genera l'àlgebra de Lie. Al subfibrat del fibrat tangent associat a aquest espai propi se l'anomena horitzontal. En un grup de Carnot, qualsevol norma en el subfibrat horitzontal dona lloc a una mètrica de Carnot–Carathéodory. Les mètriques de Carnot–Carathéodory tenen dilacions mètriques; són cons asimptòtics de grups nilpotents finitament generats, i de grups de Lie nilpotents, així com cons tangents de varietats subriemannianes.
Definició formal i propietats bàsiques Un grup de Carnot (o estratificat) de passos és un grup de Lie connex, simplement connex i de dimensió finita, l'àlgebra de Lie del qual admet una estratificació de passos. És a dir, existeixen subespais lineals no trivials tals que
, per , i .
Noti's que aquesta definició implica que el primer estrat genera tota l'àlgebra de Lie .
La funció exponencial és un difeomorfsme de a . Utilitzant aquestes coordenades exponencials, es pot identificar amb , on i l'operació venen donats per la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff.
De vegades convé més escriure un element com
amb per .
La raó d'això és que té una operació de dilació intrínseca donada per
.
Exemples El Grup de Heisenberg sobre el cos dels nombres reals és un grup de Carnot que es pot veure com un model pla dins de la geometria sub-riemanniana igual que l'espai euclidià dins de la geometria riemanniana. El grup d'Engel també és un grup de Carnot.
Història Els grups de Carnot van ser introduïts, sota aquest nom per Pierre Pansu (1982 i 1989) i a John Mitchell (1985). Tanmateix, el concepte havia estat introduït abans per Gerard Folland (1975), sota el nom de grup estratificat.
Referències
Vegeu també Derivada de Pansu, una derivada en un grup de Carnot que va ser introduïda per Pansu.
Bibliografia
Categoria:Grups de Lie