La llei de Morrie és una identitat trigonomètrica singular. El seu nom s'atribueix al físic Richard Feynman, que solia referir-se a aquesta identitat amb aquest nom. Feynman va triar aquest nom perquè la va aprendre durant la seva infantesa a través d'un noi anomenat Morrie Jacob i la va recordar tota la seva vida.W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996. (JSTOR)
Identitat i generalització
És un cas especial de la identitat, més general,
amb n = 3 i α = 20° i el fet que
ja que
Identitats similars També existeix una identitat similar amb la funció sinus:
A més, si es divideix la segona identitat per la primera, s'obté:
Demostració Demostració geomètrica de la llei de Morrie miniatura|Enneàgon regular amb el centre de la seva circumferència circumscrita . Calculant els angles: Consideri's l'enneàgon regular amb costat de longitud i sigui el punt mig del costat , el punt mig de i el punt mig del costat . Els angles interiors de l'enneàgon són tots de i a més , i (vegeu la figura). Aplicant la definició del cosinus en els triangles rectangles , i s'obté una demostració de la llei de Morrie:Samuel G. Moreno, Esther M. García-Caballero: "'A Geometric Proof of Morrie's Law". In: American Mathematical Monthly, vol. 122, no. 2 (February 2015), p. 168 (JSTOR)
Demostració algebraica de la identitat generalitzada Recordeu la fórmula de l'angle doble per a la funció sinus
Si s'aïlla
Segueix:
Si es multipliquen totes aquestes expressions juntes s'obté:
Els numeradors i denominadors del mig s'anul·len deixant només el primer denominador, una potència de 2 i el numerador final. Noti's que hi ha n termes en tots dos costats de l'expressió. És a dir,
que és equivalent a la generalització de la llei de Morrie.
Referències
Bibliografia complementària Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, , p. 79-83 Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998
Enllaços externs
Categoria:Trigonometria Categoria:Identitats matemàtiques