El problema de petits divisors és un problema clau en l'estudi la teoria KAM. Aquesta equació surt en molts esquemes KAM en el moment de linealitzar les equacions.
Definició Sigui el tor dimensional, un vector i una funció amb períodes i mitja zero, . El problema dels petits divisors es defineix com l'equació funcional
a on és la funció incògnita.
Solució formal Formalment aquesta equació es pot resoldre terme a terme si expressem les funcions amb les seves sèries de Fourier: Si escrivim , llavors tenim que els coeficients de compleixen
.
La condició de mitja zero de és equivalent a i fa que hi hagi solució formal.
Existència de solucions suaus La demostració de l'existència de suaus és un resultat clau i amb encara forces preguntes sense resoldre. Un resultat clàssic, degut a Rüssmann, és el següent:
Teorema Si és diofantí amb constants i la funció és analítica en el tor complex amb norma , llavors per a tot que compleixi és té que l'equació de petits divisors té solució analítica en el tor complex i la norma de compleix
amb .
Referències
Bibliografia de la Llave, Rafael, A tutorial on KAM theory, In Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175–292. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
Vegeu també Teoria KAM Teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser
Categoria:Teoria_de_sistemes