En matemàtiques, la funció de Landau g(n), que rep el nom del matemàtic Edmund Landau, es defineix per a tot nombre natural n per ser l'ordre més gran d'un element del grup simètric Sn. De manera equivalent, g(n) és el mínim comú múltiple (mcm) més gran de qualsevol partició de n, o el nombre màxim de vegades que una permutació de n elements es pot aplicar recursivament sobre si mateixa abans de tornar a la seva seqüència inicial.

Per exemple, 5 = 2 + 3 i mcm(2,3) = 6. Cap altra partició de 5 produeix un mcm més gran, de manera que g (5) = 6. Un element d'ordre 6 del grup S5 es pot escriure en notació de cicle com a (1 2) (3 4 5). Tingueu en compte que el mateix argument s'aplica al nombre 6, és a dir, g (6) = 6. Hi ha seqüències arbitràriament llargues de nombres consecutius n, n + 1,... , n + m on la funció g és constant.

La seqüència entera g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6, g (7) = 12, g (8) = 15, ... rep el nom d'Edmund Landau, qui va demostrar el 1902Landau, p. 92–103 que

(on ln denota el logaritme natural). De manera equivalent (utilitzant la notació de Landau), .

Més concretament,

Si , on denota la funció de recompte de nombre primers, la funció integral logarítmica amb inversa , i podem prendre per a una constant c > 0 segons Ford, aleshores

La condició que

per a n prou gran és equivalent a la hipòtesi de Riemann.

Es pot demostrar que

amb l'única igualtat entre les funcions a n = 0, i de fet

Jean-Pierre Massias, Majoration explicite de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (5) 6 (1984), no. 3-4, p. 269–281 (1985).

Notes

Referències E. Landau, "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Sobre l'ordre màxim de les permutacions d'un grau donat]", Arch. Matemàtiques. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903. W. Miller, « L'ordre màxim d'un element d'un grup simètric finit », American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pàg. – . J.-L. Nicolas, "Sobre la funció de Landau g ( n )", a Les matemàtiques de Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, p. 228 – 240. Categoria:Teoria de grups Landau