En geometria diferencial, una branca de les matemàtiques, una submersió riemanniana és una submersió d'una varietat riemanniana a una altra que respecta la mètrica, en el sentit que és una projecció ortogonal en espais tangencials.
Definició formal Siguin (M, g) i (N, h) dues varietats riemannianes i una submersió (surjectiva), és a dir una varietat fibrada. La distribució horitzontal és un subfibrat del fibrat tangent de que depèn tant de la projecció com de la mètrica .
Llavors, f rep el nom de submersió riemanniana si i només si, per tot , l'isomorfisme d'espais vectorials és isomètrica, és a dir preserva longituds.
Exemples Un exemple de submersió riemanniana sorgeix quan un grup de Lie actua isomètricament, lliurement im pròpia en una varietat riemanniana . La projecció a l'espai quocient equipat amb una mètrica quocient és una submersió riemanniana. Per exemple, la multiplicació component per component en pel grup de nombres complexes unitaris dona lloc a la fibració de Hopf.
Propietats Es pot calcular la curvatura seccional de l'espai objectiu d'una submersió riemanniana a partir de la curvatura de l'espai total mitjançant la fórmula d'O'Neill, que duu el nom de Barrett O'Neill:
on son camps vectorials ortonormals en , les seves projeccions horitzontals a , és el corxet Lie de camps vectorials i és la projecció del camp vectorial a la distribució vertical.
En particular la fita inferior per la curvatura seccional de és almenys tan gran com la fita inferior de la curvatura seccional de .
Referències
Bibliografia . Barrett O'Neill. The fundamental equations of a submersion. Michigan Math. J. 13 (1966), 459–469.
Categoria:Geometria riemanniana