El càlcul fraccional de conjunts (FCS, de l'anglès fractional calculus of sets) és una metodologia derivada del càlcul fraccional i va ser mencionat per primera vegada a l'article titulat Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods.Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods El concepte principal darrere del FCS és la caracterització dels elements del càlcul fraccionalApplications of fractional calculus in physics utilitzant conjunts degut a la gran quantitat d'operadors fraccionals disponibles.A review of definitions for fractional derivatives and integralA review of definitions of fractional derivatives and other operatorsHow many fractional derivatives are there? Aquesta metodologia es va originar a partir del desenvolupament del mètode de Newton-Raphson fraccionalFractional Newton-Raphson Method i treballs relacionats posteriors.Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receiversCode of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programmingSets of Fractional Operators and Some of Their Applications

center|miniatura|500x500px|Il·lustració d'algunes línies generades pel mètode de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial però amb ordres diferents de l'operador fraccionari implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

Conjunt d'operadors fraccionals El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta amb derivades d'ordre no enter, va sorgir gairebé simultàniament amb el càlcul tradicional. Aquesta emergència va ser en part degut a la notació de Leibniz per a derivades d'ordre enter: . Gràcies a aquesta notació, L’Hôpital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretació de prendre en una derivada. En aquell moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a aquesta pregunta, per la qual cosa simplement va respondre a L’Hôpital en una carta que «... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, se'n derivaran conseqüències útils».

El nom «càlcul fraccional» s'origina a partir d'una pregunta històrica, ja que aquesta branca de l'anàlisi matemàtica estudia derivades i integrals d'un cert ordre . Actualment, el càlcul fraccional manca d'una definició unificada del que constitueix una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:Els operadors fraccionals tenen diverses representacions, però una de les seves propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mesura que . Considerant una funció escalar i la base canònica de denotada per , el següent operador fraccional d'ordre es defineix utilitzant notació d'Einstein:Einstein summation for multidimensional arraysDenotant com la derivada parcial d'ordre respecte al component -èsim del vector , es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:el complement del qual és:Com a conseqüència, es defineix el següent conjunt:

Extensió a funcions vectorials Per a una funció , el conjunt es defineix com:on denota el -èsim component de la funció .

Conjunt d'operadors fraccionals El conjunt d'operadors fraccionals considerant ordres infinits es defineix com:on sota el producte de HadamardThe hadamard product clàssic es té que:

Operadors matricials fraccionals Per a cada operador , l'operador matricial fraccional es defineix com:i per a cada operador , es pot definir la següent matriu, corresponent a una generalització de la matriu Jacobiana:Jacobians of matrix transformation and functions of matrix argumentson .

Producte de Hadamard modificat Considerant que, en general, , es defineix el següent producte de Hadamard modificat:amb el qual s'obté el següent teorema:

Teorema: Grup abelià d'operadors matricials fraccionals Sigui un operador fraccional tal que . Considerant el producte de Hadamard modificat, es defineix el següent conjunt d'operadors matricials fraccionals:que correspon al grup AbelianoAbelian groups generat per l'operador .

Demostració Atès que el conjunt en l'equació (1) es defineix aplicant només el producte de Hadamard tipus vertical entre els seus elements, per a tots es té que:amb el qual és possible demostrar que el conjunt (1) satisfà les següents propietats d'un grup Abeliano:

Conjunt d'Operadors Fraccionals Sigui el conjunt . Si i , llavors és possible definir la següent notació multiíndex:Aleshores, considerant una funció i l'operador fraccional:es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:D'on s'obtenen els següents resultats:Com a conseqüència, considerant una funció , es defineix el següent conjunt d'operadors fraccionals:

Conjunt d'Operadors Fraccionals Considerant una funció i el següent conjunt d'operadors fraccionals:Aleshores, prenent una bola , és possible definir el següent conjunt d'operadors fraccionals:el qual permet generalitzar l'expansió en sèrie de Taylor d'una funció vectorial en notació multiíndex. Com a conseqüència, és possible obtenir el següent resultat:

Mètode de Newton-Raphson fraccional Sigui una funció amb un punt tal que . Llavors, per a algun i un operador fraccional , és possible definir un tipus d'aproximació lineal de la funció al voltant de de la següent manera:el que es pot expressar de forma més compacta com:on denota una matriu quadrada. D'altra banda, si i atès que , s'infereix el següent:Com a conseqüència, definint la matriu:és possible definir el següent mètode iteratiu fraccional:que correspon al cas més general del mètode de Newton-Raphson fraccional. center|miniatura|500x500px|Il·lustració d'algunes línies generades pel mètode de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial , però amb diferents ordres de l'operador fraccional implementat. El mètode de Newton–Raphson fraccional genera generalment línies que no són tangents a la funció les arrels de la qual es busquen, a diferència del mètode clàssic de Newton–Raphson. Font: MDPI L'ús d'operadors fraccionals en mètodes de punt fix ha estat àmpliament estudiat i citat en diverses fonts acadèmiques. Exemples d'això es poden trobar en diversos articles publicats en revistes de renom, com els que apareixen a ScienceDirect, Springer, World Scientific, i MDPI. També s'inclouen estudis de Taylor & Francis (Tandfonline), Cubo, Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas, Journal of Research and Creativity, MQR, i Актуальные вопросы науки и техники. Aquests treballs destaquen la rellevància i aplicabilitat dels operadors fraccionals en la resolució de problemes.

Referències

Bibliografia Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240 Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459 Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008 Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737 Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101 Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231 Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103 Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263 Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. Fuzzy fractional Caputo-type numerical scheme for solving fuzzy nonlinear equations. Fractional Differential Equations 2024, 167–175. DOI: 10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3 Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0 Al-Nadhari, A.M.; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. The efficient geometrical nonlinear analysis method for civil engineering structures. Asian Journal of Civil Engineering 2024, 25(4), 3565–3573. DOI: 10.1007/s42107-024-00996-z Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, S.F.; Momani, S. On efficient fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all roots of polynomial equations with biomedical engineering applications. Fractals 2023, 31(04), 2340075. DOI: 10.1142/S0218348X23400753 Wang, X.; Jin, Y.; Zhao, Y. Derivative-free iterative methods with some Kurchatov-type accelerating parameters for solving nonlinear systems. Symmetry 2021, 13(6), 943. DOI: 10.3390/sym13060943 Tverdyi, D.; Parovik, R. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation. Fractal and Fractional 2021, 6(1), 23. DOI: 10.3390/fractalfract6010023 Tverdyi, D.; Parovik, R. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect. Fractal and Fractional 2022, 6(3), 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163 Srivastava, H.M. Editorial for the Special Issue “Operators of Fractional Calculus and Their Multidisciplinary Applications”. Fractal and Fractional 2023, 7(5), 415. DOI: 10.3390/fractalfract7050415

Shams, M.; Carpentieri, B. Efficient inverse fractional neural network-based simultaneous schemes for nonlinear engineering applications. Fractal and Fractional 2023, 7(12), 849. DOI: 10.3390/fractalfract7120849 Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, J.R.; Vassileva, M.P. Solving Nonlinear Transcendental Equations by Iterative Methods with Conformable Derivatives: A General Approach. Mathematics 2023, 11(11), 2568. DOI: 10.3390/math11112568 Shams, M.; Carpentieri, B. On highly efficient fractional numerical method for solving nonlinear engineering models. Mathematics 2023, 11(24), 4914. DOI: 10.3390/math11244914 Martínez, F.; Kaabar, M.K.A.; Martínez, I. Novel Results on Legendre Polynomials in the Sense of a Generalized Fractional Derivative. Mathematical and Computational Applications 2024, 29(4), 54. DOI: 10.3390/mca29040054 Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S.; Salman, M.A.; Shah, M.A. On family of the Caputo-type fractional numerical scheme for solving polynomial equations. Applied Mathematics in Science and Engineering 2023, 31(1), 2181959. DOI: 10.1080/27690911.2023.2181959 Nayak, S.K.; Parida, P.K. Global convergence analysis of Caputo fractional Whittaker method with real world applications. Cubo (Temuco) 2024, 26(1), 167–190. DOI: 10.56754/0719-0646.2601.167 Rebollar-Rebollar, S.; Martínez-Damián, M.Á.; Hernández-Martínez, J.; Hernández-Aguirre, P. Óptimo económico en una función Cobb-Douglas bivariada: una aplicación a ganadería de carne semi extensiva. Revista mexicana de ciencias agrícolas 2021, 12(8), 1517–1523. DOI: 10.29312/remexca.v12i8.2915