En matemàtiques, una solució fonamental per a un operador diferencial parcial lineal és una formulació en el llenguatge de la teoria de la distribució de la idea més antiga d'una funció de Green (tot i que a diferència de les funcions de Green, les solucions fonamentals no aborden les condicions de contorn).
En termes de la "funció" delta de Dirac , una solució fonamental és una solució de l'equació no homogènia
Aquí només s'assumeix a priori que és una distribució.
Aquest concepte s'ha utilitzat durant molt de temps per al laplacià en dues i tres dimensions. Va ser investigat per a totes les dimensions per al Laplacià per Marcel Riesz.
L'existència d'una solució fonamental per a qualsevol operador amb coeficients constants —el cas més important, directament relacionat amb la possibilitat d'utilitzar la convolució per resoldre un costat dret arbitrari— va ser demostrat per Bernard Malgrange i Leon Ehrenpreis, i una prova està disponible a Joel. Smoller (1994). En el context de l'anàlisi funcional, les solucions fonamentals es desenvolupen normalment mitjançant l'alternativa de Fredholm i s'exploren en la teoria de Fredholm.
Exemple Considereu la següent equació diferencial amb
Les solucions fonamentals es poden obtenir resolent , explícitament, Ja que per a la funció de pas d'unitat (també coneguda com a funció Heaviside) tenim
hi ha una solució Aquí és una constant arbitrària introduïda per la integració. Per comoditat, poseu .
Després d'integrar-se i escollint la nova constant d'integració com a zero, un té
Motivació Un cop trobada la solució fonamental, és fàcil trobar una solució de l'equació original, mitjançant la convolució de la solució fonamental i el costat dret desitjat.
Les solucions fonamentals també tenen un paper important en la solució numèrica d'equacions en derivades parcials mitjançant el mètode dels elements límit.
Aplicació a l'exemple Considereu l'operador i l'equació diferencial esmentada a l'exemple, Podem trobar la solució
de l'equació original per convolució (indicada amb un asterisc) del costat dret amb la solució fonamental : Això demostra que s'ha de tenir certa cura quan es treballa amb funcions que no tenen prou regularitat (per exemple, suport compacte, integrabilitat L 1 ) ja que, sabem que la solució desitjada és , mentre que l'anterior la integral divergeix per a tota . Les dues expressions de són, però, iguals com a distribucions.
Un exemple que funciona més clarament on és la funció característica (indicadora) de l'interval unitari [ 0,1 ]. En aquest cas, es pot comprovar que la convolució de amb és que és una solució, és a dir, té la segona derivada igual a
Referències
Categoria:Equacions diferencials