En matemàtiques, el potencial de Riesz és un potencial que porta el nom del seu descobridor, el matemàtic hongarès Marcel Riesz. En cert sentit, el potencial de Riesz defineix una inversa per a una potència de l'operador de Laplace a l'espai euclidià. Generalitzen a diverses variables les integrals de Riemann-Liouville d'una variable.
Definició Si 0 < α < n, aleshores el potencial de Riesz Iα f d'una funció integrable localment f sobre Rn és la funció definida per
on la constant ve donada per
Aquesta integral singular està ben definida sempre que f decaï prou ràpidament a l'infinit, concretament si f ∈ Lp (Rn) amb 1 ≤ pàg < n / α. De fet, per a qualsevol 1 ≤ p ( p >1 és clàssic, a causa de Sobolev, mentre que per a p =1 vegeu , la taxa de decadència de f i la de Iα f es relacionen en forma d'una desigualtat (la desigualtat Hardy–Littlewood–Sobolev)
on és la transformada de Riesz amb valors vectorials. De manera més general, els operadors Iα estan ben definits per al complex α tal que .
El potencial de Riesz es pot definir de manera més general en un sentit feble com la circumvolució
on K α és la funció localment integrable:
Per tant, el potencial de Riesz es pot definir sempre que f sigui una distribució suportada de manera compacta. En aquest sentit, el potencial de Riesz d'una mesura positiva de Borel μ amb suport compacte és principalment d'interès en la teoria del potencial perquè Iα μ és aleshores una funció subharmònica (continua) fora del suport de μ, i és inferior semicontinua en tot Rn.
La consideració de la transformada de Fourier revela que el potencial de Riesz és un multiplicador de Fourier. De fet, un té
i per tant, pel teorema de la convolució,
Els potencials de Riesz satisfan la següent propietat del semigrup en, per exemple, funcions contínues que disminueixen ràpidament
proporcionat
A més, si , aleshores
També es té, per a aquesta classe de funcions,
Referències
Categoria:Equacions en derivades parcials