En matemàtiques, les sèries hipergeomètriques de Lauricella són quatre sèries hipergeomètriques de tres variables (FA, FB, FC, FD) definides i estudiades l'any 1893 pel matemàtic Giuseppe Lauricella :

per a |x1| + |x2| + |x3| < 1, i

per a |x1| < 1, |x2| < 1, |x3| <1, i

per a |x1|1/2 + |x2|1/2 + |x3|1/2 < 1, i

per a |x1| < 1, |x2| < 1, |x3| < 1.

El símbol de Pochhammer (q)i indica li-è factor creixent de q, és a dir

on la segona igualtat és certa per a tot complex excepte

Aquestes funcions es poden estendre a altres valors de les variables x1, x2, x3 mitjançant continuació analítica.

Lauricella també va indicar l'existència d'altres deu funcions hipergeomètriques de tres variables. Aquests van ser anomenats FE, FF ,... , FT estudiades per Shanti Saran el 1954 . Per tant, hi ha un total de 14 funcions hipergeomètriques de Lauricella–Saran.

Generalització a n variables Aquestes funcions es poden estendre directament a n variables. Hom escriu, per exemple,

on |x1| +... + |xn| < 1. Aquestes sèries generalitzades també es coneixen de vegades com a funcions de Lauricella.

Quan n = 2, les funcions de Lauricella corresponen a la sèrie hipergeomètrica d'Appell de dues variables:

Quan n = 1, les quatre funcions es redueixen a la funció hipergeomètrica de Gauss:

Representació integral de F D En analogia amb la funció d'Appell <i id="mwfg">F</i><sub id="mwfw">1</sub>, la funció FD de Lauricella es pot escriure com a una integral de tipus Euler unidimensional per a qualsevol nombre n de variables:

Aquesta representació es pot verificar fàcilment mitjançant l'expansió de Taylor de l'integrand, seguida de la integració de termes. La representació implica que la integral el·líptica incompleta Π és un cas especial de la funció de Lauricella FD amb tres variables:

Solucions de suma finita de F D Cas 1: , un nombre sencer positiu

Es pot relacionar F D amb la funció R de Carlson via

amb la suma iterativa

i

on es pot aprofitar que la funció R de Carlson per té una representació exacta (vegeu per a més informació).

Els vectors es defineixen com a

on la longitud de i és , mentre que els vectors i tenen longitud .

Cas 2: , un nombre sencer positiu

En aquest cas també hi ha una forma analítica coneguda, però és bastant complicat d'escriure i comporta diversos passos. Vegeu per a més informació.

Referències

(see p. 114)

(corrigendum 1956 in Ganita'' 7''', p. 65) (there is a 2008 paperback with ) (there is another edition with )

Categoria:Sèries Categoria:Funcions hipergeomètriques Categoria:Articles amb traduccions sense revisar