En la disciplina matemàtica de la teoria de conjunts, el forcing és una tècnica per demostrar resultats de consistència i d'independència. Intuïtivament, el forcing es pot pensar com una tècnica per expandir l'univers de la teoria de conjunts a un univers més gran mitjançant la introducció d'un nou objecte "genèric" .
El forcing va ser utilitzat per primera vegada per Paul Cohen el 1963, per demostrar la independència de l'axioma d'elecció i de la hipòtesi del continu de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Es va reelaborar i simplificar considerablement en els anys següents, i des de llavors ha servit com una tècnica molt potent, tant en teoria de conjunts com en altres àrees de la lògica matemàtica com la teoria de la recursivitat. La teoria descriptiva de conjunts utilitza les nocions de forcing tant de la teoria de la recursivitat com de la teoria de conjunts. El forcing també s'ha utilitzat en teoria de models, però és comú en teoria de models definir la genericitat directament sense esmentar el forcing.
Intuïció El forcing s'utilitza normalment per construir un nou univers expandit que satisfà alguna propietat desitjada. Per exemple, el nou univers podria contenir molts nombres reals nous (almenys d'ells), identificats amb subconjunts del conjunt de nombres naturals, que no hi eren a l'antic univers i, per tant, violen la hipòtesi del continu.
Per justificar de manera intuïtiva aquesta expansió, el millor és pensar en el "vell univers" com un model de la teoria de conjunts, que en si mateix és un conjunt en l'"univers real" . Pel teorema de Löwenheim–Skolem, es pot triar com un model que sigui numerable externament, la qual cosa garanteix que hi haurà molts subconjunts (en ) de que no són en . Concretament, hi ha un ordinal que "juga el paper del cardinal " en , però en realitat és numerable en . Treballant en , hauria de ser fàcil trobar un subconjunt de diferent per cada element de . (Per simplificar, aquesta família de subconjunts es pot caracteritzar amb un únic subconjunt .)
Tanmateix, en cert sentit, pot ser desitjable "construir el model ampliat dins de ". Això ajudaria a garantir que "s'assemblés" a en determinats aspectes, com ara en que fos el mateix que (de manera més general, que el col·lapse d'aquest cardinal no es produís), i d'aquesta manera permetre un control més minuciós de les propietats de . Més concretament, a cada membre de se li assigna un nom (no únic) en . El nom es pot pensar com una expressió en termes de , igual que en una extensió simple de camp cada element de es pot expressar en termes de . Un component important del forcing és la possibilitat de manipular aquests noms dins de , així que de vegades pot ser útil pensar directament en com "l'univers", sabent que la teoria del forcing garanteix que correspondrà a un model real.
Un punt subtil del forcing és que, si aquest (un subconjunt de que no és element de ) es pren de forma arbitrària, pot ser que el construït "dins de " ni tan sols sigui un model. Això és perquè pot codificar informació "especial" sobre que és invisible dins de (per exemple, la numerabilitat de ), i així demostrar l'existència de conjunts que són "massa complexos perquè els pugui descriure".
El forcing evita aquests problemes requerint que el conjunt recentment introduït sigui un conjunt genèric relatiu a . Alguns enunciats són "forçats" a complir-se per a qualsevol genèric : Per exemple, un genèric està "forçat" a ser infinit. A més, qualsevol propietat (definible en ) d'un conjunt genèric està "forçada" a complir-se sota alguna condició del forcing . El concepte de "forçar" es pot definir dins de , i dona a prou força de raonament per demostrar que és de fet un model que compleix les propietats desitjades.
La tècnica original de Cohen, ara anomenada forcing ramificat, és lleugerament diferent del forcing no ramificat que s'exposa aquí. El forcing és també equivalent al mètode dels models amb valors booleans, que alguns consideren conceptualment més natural i intuïtiu, però normalment molt més difícil d'aplicar.
El paper del model Perquè el plantejament anterior funcioni sense problemes, de fet, ha de ser un model transitiu estàndard en , de manera que la relació de pertinença i altres nocions elementals es puguin manejar de manera intuïtiva en tots dos i . Un model transitiu estàndard es pot obtenir a partir de qualsevol model estàndard mitjançant el lema del col·lapse de Mostowski, però l'existència de qualsevol model estàndard de (o qualsevol variant d'aquesta teoria) és en si mateix una assumpció més forta que la de la consistència de .
Cada "condició" d'una noció de forcing és un tros d'informació finita: la idea és que només una quantitat finita de trossos d'informació són rellevants per a la consistència, ja que, segons el teorema de la compacitat, una teoria és satisfacible si i només si tots els subconjunts finits dels seus axiomes són satisfacibles. Aleshores podem triar un conjunt infinit de condicions consistents per estendre el nostre model. Per tant, assumint la consistència de , demostrem la consistència de estesa per aquest conjunt infinit.
Forcing Cada condició de forcing es pot considerar com un fragment finit d'informació sobre l'objecte afegit al model. Hi ha moltes maneres diferents de proporcionar informació sobre un objecte, que donen lloc a diferents nocions de forcing. Un enfocament general per formalitzar les nocions de forcing és considerar les condicions de forcing com a objectes abstractes amb una estructura de conjunt parcialment ordenat.
La noció de forcing no trivial més senzilla és , el conjunt de les funcions parcials finites de a ordenat amb la inclusió inversa.
Per a tota , hi ha tals que , i no existeix cap tal que .
En altres paraules, ha de ser possible estendre qualsevol condició de forcing en almenys dues direccions incompatibles. Intuïtivament, la necessitat de la condició de divisió rau en el fet que és només un fragment finit d'informació, mentre que es necessita un quantitat infinita d'informació per determinar .
Hi ha diverses convencions en ús. Alguns autors requereixen que l'ordre sigui també antisimètric, de manera que la relació sigui un ordre parcial. Alguns utilitzen el terme ordre parcial de totes maneres, en conflicte amb la terminologia estàndard, mentre que alguns utilitzen el terme preordre. L'element més gran és prescindible. Molts matemàtics israelians com Saharon Shelah i els seus coautors utilitzen l'ordre invers.
Exemples Sigui qualsevol conjunt infinit (com ara ), i sigui l'objecte genèric en qüestió un nou subconjunt . En la formulació original de Cohen del forcing, cada condició de forcing és un conjunt finit de sentències, bé de la forma o bé de la forma , que són auto-consistents (és a dir, i pel mateix valor de no apareixen en la mateixa condició). Aquesta noció de forcing se sol anomenar forcing de Cohen .
La noció de forcing pel forcing de Cohen es pot escriure formalment com , les funcions parcials finites de a sota inclusió inversa . El forcing de Cohen satisfà la condició de divisió perquè donada qualsevol condició , sempre es pot trobar un element no esmentat en , i afegir la sentència o a per aconseguir dues noves condicions de forcing, incompatibles entre si.
Un altre exemple de noció de forcing que pot ser instructiu és , on i és la col·lecció de subconjunts de Borel de amb mesura de Lebesgue no nul·la. L'objecte genèric associat a aquesta noció de forcing és un nombre real aleatori . Es pot demostrar que es membre de tots els subconjunts de Borel de amb mesura 1, sempre que el subconjunt de Borel estigui "descrit" a l'univers original no expandit (això es pot formalitzar amb el concepte de codis de Borel). Cada condició de forcing es pot considerar com un esdeveniment aleatori amb probabilitat igual a la seva mesura. A causa de la fàcil intuïció que aquest exemple pot proporcionar, de vegades s'utilitza un llenguatge probabilístic amb altres nocions de forcing divergents.
Filtres genèrics Tot i que cada condició de forcing individual no pot determinar completament l'objecte genèric , el conjunt de totes les condicions de forcing "reals" determina . De fet, sense pèrdua de generalitat, es considera comunament com l'objecte genèric afegit a , motiu pel qual denotem el model expandit com . En general, és fàcil demostrar que l'objecte originalment desitjat és efectivament en el model .
Sota aquesta convenció, el concepte d'"objecte genèric" es pot descriure de manera general. Concretament, el conjunt ha de ser un filtre genèric en relatiu a . La condició de "filtre" es tradueix en que és, efectivament, un conjunt de condicions de forcing "reals":
si , i , llavors si , llavors existeix un tal que
Per ser "genèric amb relació a " significa:
Si és un subconjunt "dens" de (és a dir, per a tota , existeix una tal que ), aleshores .
Donat un model numerable , l'existència d'un filtre genèric se segueix del lema Rasiowa–Sikorski. De fet, un resultat una mica més fort és cert: donada una condició , es pot trobar un filtre genèric tal que . A causa de la condició de divisió per , si és un filtre, llavors és un subconjunt dens de . Per tant, si fos un element de , llavors també ho seria, ja que és un model de , i per genericitat tindríem . És per aquest motiu, que no hi pot haver filtres genèric per que, a la vegada, siguin membres de .
-noms i interpretacions Tota noció de forcing té associada la classe de -noms. Un -nom és un conjunt de la forma
Donat qualsevol filtre en , la interpretació o avaluació d'un -nom ve donada per
La classe dels -noms és, de fet, una expansió de l'univers. Donat , podem definir el nom estàndard de com el -nom
Com que , se segueix que . Per tant, la interpretació de no depèn de l'elecció específica de .
De forma similar, també podem definir el nom canònic pel filtre genèric sense fer referència explícita a :
Observem que .
Definicions rigoroses Els conceptes de -noms, interpretacions i es poden definir per recursió transfinita. Amb el conjunt buit, l' ordinal successor de l'ordinal , l'operador potència, i un ordinal límit, definim la jerarquia següent:
Llavors la classe de -noms es defineix com
La interpretació de -noms i el mapa es poden definir amb una construcció jeràrquica de forma similar.
Condicions de forcing i nocions de forcing Donat un filtre genèric , es procedeix de la següent manera. La subclasse de -noms en es denota . Definim
Per reduir l'estudi de la teoria de a la de , es treballa amb el "llenguatge del forcing", que es construeix com la lògica de primer ordre ordinària, amb la relació de pertinença com a relació binària i tots els -noms com a constants. La relació de forcing, denotada , que relaciona condicions de i fórmules en el llenguatge del forcing (involucrant -noms), en ens permet determinar quines fórmules seran certes en un cop posem una condició en el genèric .
Formalment, donades una condició , una fórmula en el llenguatge del forcing, i -noms , per , definim (es llegeix com a " força en el model amb poset ") com , on és un filtre genèric qualsevol que conté . El cas especial sovint s'escriu com " " o simplement "". En aquest cas, aquestes fórmules són certes en , independentment del genèric .
El que és important és que aquesta definició externa (en ) de la relació de forcing és equivalent a una definició interna dins de , definida per inducció transfinita sobre els -noms en instàncies de i , i després per inducció ordinària sobre la complexitat de les fórmules. La conseqüència d'això és que totes les propietats de són realment propietats de , i la verificació de en esdevé molt més simple. Podem resumir tot això en les tres propietats clau següents:
Veritat: si i només si per alguna condició , tenim . Definibilitat: l'enunciat "" és definible en . Coherència: si i , llavors .
Definició interna