miniatura|El col·lector superior és pla. La inferior no ho és, però és conforme a la primera Una varietat (pseudo-) Riemanniana és conformement plana si cada punt té un veïnatge que es pot mapar a un espai pla mitjançant una transformació conforme.
A la pràctica, la mètrica de la varietat ha de ser conforme a la mètrica plana , és a dir, les geodèsiques mantenen en tots els punts de els angles movent-se d'un a l'altre, a més de mantenir les geodèsiques nul·les sense canvis, això significa que existeix una funció tal que , on es coneix com a factor de conformació i és un punt de la varietat.
Més formalment, deixem ser una varietat pseudoriemanniana. Aleshores és conformement pla si per a cada punt en , hi ha un barri de i una funció suau definit a tal que és pla (és a dir, la curvatura de s'esvaeix ). La funció no cal definir-los en tots .
Alguns autors utilitzen la definició de pla localment conforme quan es refereixen només a algun punt activat i reserveu la definició de conformament pla per al cas en què la relació sigui vàlida per a tots activat .
Exemples Cada col·lector amb una curvatura en secció constant és conformement plana. Cada varietat pseudo-riemanniana bidimensional és plana de forma conforme. L'element de línia de les coordenades esfèriques bidimensionals, com l'utilitzat en el sistema de coordenades geogràfiques, , té un tensor mètric i no és pla però amb la projecció estereogràfica es pot mapar a un espai pla utilitzant el factor conformal , on és la distància des de l'origen de l'espai pla, obtenint. . Una varietat pseudo-riemanniana tridimensional és plana de manera conforme si i només si el tensor de Cotton s'esvaeix. Una varietat pseudo-riemanniana n -dimensional per a n ≥ 4 és plana de manera conforme si i només si el tensor de Weyl s'esvaeix. Tota varietat riemanniana compacta, simplement connectada, conformament euclidiana és conformement equivalent a l'esfera rodona.
La projecció estereogràfica proporciona un sistema de coordenades per a l'esfera en què la planitud conforme és explícita, ja que la mètrica és proporcional a la plana.
En la relativitat general, sovint es poden utilitzar varietats planes conformes, per exemple per descriure la mètrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker. No obstant això, també es va demostrar que no hi ha rodanxes planes conformes de l'espai-temps de Kerr.
Per exemple, les coordenades Kruskal-Szekeres tenen un element de línia amb tensor mètric i per tant no és pla. Però amb les transformacions i esdevé amb tensor mètric , que és la mètrica plana multiplicada pel factor de conformació .
Referències
Categoria:Geometria diferencial