En el camp matemàtic de l'anàlisi complexa, la integració de contorn és un mètode per avaluar certes integrals al llarg de camins en el pla complex.
La integració de contorns està estretament relacionada amb el càlcul de residus, un mètode d' anàlisi complexa .
Un ús de les integrals de contorn és l'avaluació d'integrals al llarg de la línia real que no es troben fàcilment utilitzant només mètodes de variables reals. També té diverses aplicacions en física.
Els mètodes d'integració de contorns inclouen:
integració directa d'una funció amb valors complexos al llarg d'una corba en el pla complex aplicació de la fórmula integral de Cauchy aplicació del teorema dels residus
Es pot utilitzar un mètode, o una combinació d'aquests mètodes, o diversos processos limitants, amb el propòsit de trobar aquestes integrals o sumes.
Corbes en el pla complex En anàlisi complexa, un contorn és un tipus de corba en el pla complex. En la integració de contorns, els contorns proporcionen una definició precisa de les corbes sobre les quals es pot definir una integral adequadament. Una corba en el pla complex es defineix com una funció contínua des d'un interval tancat de la recta real fins al pla complex: .
Aquesta definició de corba coincideix amb la noció intuïtiva de corba, però inclou una parametrització mitjançant una funció contínua a partir d'un interval tancat. Aquesta definició més precisa ens permet considerar quines propietats ha de tenir una corba perquè sigui útil per a la integració. En els següents apartats, reduïm el conjunt de corbes que podem integrar per incloure només aquelles que es poden construir a partir d'un nombre finit de corbes contínues a les quals se'ls pot donar una direcció. A més, restringirem que les "peces" es creuin entre si i exigim que cada peça tingui una derivada contínua finita (no nul·la). Aquests requisits corresponen a exigir que només considerem corbes que es poden traçar, com ara amb un bolígraf, en una seqüència de traços parells i constants, que s'aturen només per començar una nova peça de la corba, tot sense aixecar el bolígraf.
Corbes suaus dirigides Els contorns sovint es defineixen en termes de corbes suaus dirigides. Aquestes proporcionen una definició precisa d'un "peça" d'una corba suau, de la qual es fa un contorn.
Una corba suau és una corba amb una derivada contínua i no nul·la de manera que cada punt es recorre només una vegada (z és biunívoca), amb la possible excepció d'una corba tal que els extrems coincideixin (). En el cas que els extrems coincideixin, la corba s'anomena tancada, i la funció ha de ser biunívoca a tot arreu i la derivada ha de ser contínua al punt identificat (). Una corba suau que no està tancada sovint s'anomena arc suau.
La parametrització d'una corba proporciona un ordre natural dels punts de la corba: ve abans si . Això porta a la noció d'una corba llisa dirigida . És més útil considerar corbes independents de la parametrització específica. Això es pot fer considerant classes d'equivalència de corbes llises amb la mateixa direcció. Una corba llisa dirigida es pot definir com un conjunt ordenat de punts en el pla complex que és la imatge d'alguna corba llisa en el seu ordre natural (segons la parametrització). Cal tenir en compte que no totes les ordenacions dels punts són l'ordre natural d'una corba llisa. De fet, una corba llisa determinada només té dues ordenacions d'aquest tipus. A més, una sola corba tancada pot tenir qualsevol punt com a extrem, mentre que un arc llis només té dues opcions per als seus extrems.
Contorns Els contorns són la classe de corbes sobre les quals definim la integració de contorns. Un contorn és una corba dirigida que està formada per una seqüència finita de corbes suaus dirigides els extrems de les quals coincideixen per donar una sola direcció. Això requereix que la seqüència de corbes sigui de tal manera que el punt terminal de coincideix amb el punt inicial de per a tots de tal manera que Això inclou totes les corbes suaus dirigides. A més, un punt únic del pla complex es considera un contorn. El símbol s'utilitza sovint per denotar la unió de corbes per formar una nova corba. Així, podríem escriure un contorn que està format per corbes com a
Integrals de contorn La integral de contorn d'una funció complexa és una generalització de la integral per a funcions amb valors reals. Per a funcions contínues en el pla complex, la integral de contorn es pot definir en analogia amb la integral de línia definint primer la integral al llarg d'una corba suau dirigida en termes d'una integral sobre un paràmetre amb valor real. Es pot donar una definició més general en termes de particions del contorn en analogia amb la partició d'un interval i la integral de Riemann. En ambdós casos, la integral sobre un contorn es defineix com la suma de les integrals sobre les corbes suaus dirigides que formen el contorn.
Per a funcions contínues Per definir la integral de contorn d'aquesta manera, primer cal considerar la integral, sobre una variable real, d'una funció de valors complexos. Sigui sigui una funció de valors complexos d'una variable real, Les parts real i imaginària de sovint es denoten com a i , respectivament, de manera que Aleshores, la integral de la funció de valors complexos durant l'interval ve donat per Ara, per definir la integral de contorn, siguem
sigui una funció contínua sobre la corba suau dirigida Deixa sigui qualsevol parametrització de que és coherent amb el seu ordre (direcció). Aleshores, la integral al llarg de es denota i ve donat per Aquesta definició està ben definida. És a dir, el resultat és independent de la parametrització escollida. En el cas que la integral real del costat dret no existeixi, la integral al llarg de
es diu que no existeix.
Mètodes directes Els mètodes directes impliquen el càlcul de la integral mitjançant mètodes similars als del càlcul d'integrals de línia en càlcul multivariant. Això significa que utilitzem el mètode següent:
parametrització del contorn El contorn es parametritza mitjançant una funció diferenciable de valors complexos de variables reals, o el contorn es divideix en parts i es parametritza per separat. substitució de la parametrització a l'integrand Substituint la parametrització en l'integrand, la integral es transforma en una integral d'una variable real. avaluació directa La integral s'avalua amb un mètode similar a una integral de variable real.
Referències
Categoria:Càlcul integral