En matemàtiques, un polinomi simètric és un polinomi en variables, de manera que si s'intercanvien qualsevol de les variables, s'obté el mateix polinomi. Formalment, és un polinomi simètric si per a qualsevol permutació dels subíndexs es té .
Els polinomis simètrics sorgeixen naturalment en l'estudi de la relació entre les arrels d'un polinomi en una variable i els seus coeficients, ja que els coeficients poden ser donats per expressions polinòmiques a les arrels, i totes les arrels tenen un paper similar en aquest context. Des d'aquest punt de vista, els polinomis simètrics elementals són els polinomis simètrics més fonamentals. De fet, un teorema anomenat teorema fonamental dels polinomis simètrics estableix que qualsevol polinomi simètric es pot expressar en termes de polinomis simètrics elementals. Això implica que cada expressió polinòmica simètrica a les arrels d'un polinomi mònic es pot donar alternativament com una expressió polinòmica en els coeficients del polinomi.
Els polinomis simètrics també formen una estructura interessant per si mateixos, independentment de qualsevol relació amb les arrels d'un polinomi. En aquest context, altres col·leccions de polinomis simètrics específics, com ara els polinomis homogenis complets, la suma de potències i els polinomis de Schur, tenen un paper important juntament amb els elementals. Les estructures resultants, i en particular l'anell de funcions simètriques, són de gran importància en combinatòria i en teoria de representacions.
Exemples Els següents polinomis en dues variables X1 i X2 són simètrics:
com és el següent polinomi en tres variables X1 , X2, X3 :
Hi ha moltes maneres de fer polinomis simètrics específics en qualsevol nombre de variables (vegeu els diversos tipus a continuació). Un exemple d'una versió una mica diferent és
on primer es construeix un polinomi que canvia de signe amb cada intercanvi de variables, i prenent el quadrat es fa completament simètric (si les variables representen les arrels d'un polinomi mònic, aquest polinomi dóna el seu discriminant).
D'altra banda, el polinomi en dues variables
no és simètric, ja que si s'intercanvia i s'obté un polinomi diferent, De la mateixa manera en tres variables
només té simetria sota permutacions cícliques de les tres variables, cosa que no és suficient per ser un polinomi simètric. Tanmateix, el següent és simètric:
Aplicacions Teoria de Galois
Un context en què es produeixen funcions polinòmiques simètriques és en l'estudi de polinomis univariants monics de grau n que tenen n arrels en un camp donat. Aquestes n arrels determinen el polinomi, i quan es consideren variables independents, els coeficients del polinomi són funcions polinòmiques simètriques de les arrels. A més, el teorema fonamental dels polinomis simètrics implica que una funció polinòmica f de les n arrels es pot expressar com (una altra) funció polinòmica dels coeficients del polinomi determinats per les arrels si i només si f ve donada per un polinomi simètric.
Això proporciona l'enfocament per resoldre equacions polinòmiques invertint aquesta aplicació, "trencant" la simetria: donats els coeficients del polinomi (els polinomis simètrics elementals de les arrels), com es poden recuperar les arrels? Això porta a estudiar solucions de polinomis utilitzant el grup de permutacions de les arrels, originalment en forma de resolents de Lagrange, desenvolupats posteriorment en la teoria de Galois.
Polinomis simètrics en àlgebra Els polinomis simètrics són importants per a l'àlgebra lineal, la teoria de la representació i la teoria de Galois. També són importants en combinatòria, on s'estudien principalment a través de l'anell de funcions simètriques, que evita haver de portar un nombre fix de variables tot el temps.
Referències
Categoria:Polinomis Categoria:Simetria