miniatura|La imatge mostra els valors de i de per a tots els valors de . En matemàtiques, la conjectura de Mertens és l'afirmació de que la funció de Mertens està limitada a l'interval . Va ser formulada per Franz Mertens en un article de 1897, La conjectura ja havia estat aventurada per Thomas Jan Stieltjes el 1885 en una carta a Charles Hermite no publicada fins el 1905. A més, el 1883 el matemàtic italià Ernesto Cesàro n'havia enunciat una formulació diferent.
El 1985 els matemàtics Andrew Odlyzko i Herman te Riele van demostrar la seva falsedat.
Aquest és un exemple sorprenent de conjectura falsa, malgrat l'enorme evidència computacional al seu favor. Mertens va calcular els 10.000 primers valors de i com que tots complien l'enunciat va enunciar la conjectura. El 1979 els matemàtics H. Cohen i F. Dress van calcular tots els valors fins a i també ho complien. El primer nombre que incompleix la conjectura és més gran que .
Definició En teoria de nombres la funció de Mertens està definida per
on és la funció de Möbius definida per
La conjectura de Mertens afirmava que, per a tot
Tot i no ser enunciats equivalents, es considera que si hagués estat possible demostrar la conjectura, també s'hauria pogut demostrar la hipòtesi de Riemann.
Refutació En un article publicat al Journal de Crelle el 1985, Andrew Odlyzko i Herman te Riele, utilitzant l'algorisme LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász) van demostrar que els límits superior i inferior del quocient entre el valor de la funció i la seva arrel quadrada eren superiors a la unitat en valor absolut, en concret:
i això significava que havien d'existir valors de més grans que o més petits que , contradient la conjectura.
Només dos anys després d'aquesta demostració, János Pintz va demostrar que existeix un per al qual la conjectura és falsa. No obstant, no s'ha trobat cap contraexemple concret.
Referències
Bibliografia
Enllaços externs
Categoria:Matemàtiques Categoria:Conjectures Categoria:Teoria de nombres