Un pont capil·lar és una superfície minimitzada de líquid o membrana creada entre dos cossos rígids de forma arbitrària. També es poden formar ponts capil·lars entre dos líquids. Plateau va definir una seqüència de formes capil·lars conegudes com (1) nodoide amb "coll", (2) catenoide, (3) unduloide amb "coll", (4) cilindre, (5) unduloide amb "anca", (6) esfera i (7) nodoide amb "anca". La presència de ponts capil·lars, depenent de les seves formes, pot conduir a l'atracció o repulsió entre els cossos sòlids. Els casos més simples són els axisimètrics. Hem distingit tres classes importants de ponts, depenent de les formes de la superfície dels cossos connectats:
dues superfícies planes (fig. 1)
miniatura|fig.1 Pont capil·lar còncau entre dos plans (representació esquemàtica)
superfície plana i partícula esfèrica (fig. 2)
miniatura|fig.2 Pont capil·lar còncau entre partícules i superfície plana (representació esquemàtica)
dues partícules esfèriques (en general, les partícules poden no ser de mides iguals, fig. 3)
miniatura|fig.3 Pont capil·lar còncau entre dues partícules (representació esquemàtica) Els ponts capil·lars i les seves propietats també poden estar influenciats per la gravetat terrestre i per les propietats de les superfícies pontades. La substància que fa el pont pot ser un líquid o un gas. El límit que els envolta s'anomena interfície (superfície capil·lar). La interfície es caracteritza per una tensió superficial particular.
Història Els ponts capil·lars s'han estudiat durant més de 200 anys. La qüestió va ser plantejada per primera vegada per Josef Louis Lagrange el 1760, i l'interès va ser difós encara més per l'astrònom i matemàtic francès C. Delaunay. Delaunay va trobar una classe completament nova de superfícies axialment simètriques de curvatura mitjana constant. La formulació i la demostració del seu teorema van tenir una llarga història. Va començar amb la proposició d'Euler d'una nova figura, anomenada catenoide . (Molt més tard, Kenmotsu va resoldre les complexes equacions no lineals, descrivint aquesta classe de superfícies. Tanmateix, la seva solució té poca importància pràctica perquè no té cap interpretació geomètrica.) J. Plateau va demostrar l'existència d'aquestes formes amb límits donats. El problema va rebre el seu nom, el problema de Plateau.
Molts científics van contribuir a la solució del problema. Un d'ells és Thomas Young. Pierre Simon Laplace va aportar la noció de tensió capil·lar. Laplace fins i tot va formular la condició àmpliament coneguda avui dia per a l'equilibri mecànic entre dos fluids, dividida per una superfície capil·lar P γ = Δ P, és a dir, la pressió capil·lar entre dues fases s'equilibra per la seva diferència de pressió adjacent.
Myshkis i Babskii han completat un estudi general sobre el comportament dels ponts capil·lars en un camp gravitatori.A.D. Myshkis and V.G. Babskii, Low-Gravity Fluid Mechanics: Mathematical Theory of Capillary Phenomena, Springer-Verlag 1987
Durant el segle passat es van dedicar molts esforços a l'estudi de les forces superficials que impulsen els efectes capil·lars dels ponts. Es va establir que aquestes forces resulten de forces intermoleculars i esdevenen significatives en espais fluids prims (<10 nm) entre dues superfícies.
La inestabilitat dels ponts capil·lars va ser discutida per primera vegada per Rayleigh. Va demostrar que un doll de líquid o una superfície cilíndrica capil·lar es tornava inestable quan la relació entre la seva longitud, H i el radi R, esdevé més gran que 2π. En aquestes condicions de petites pertorbacions sinusoïdals amb longitud d'ona més gran que el seu perímetre, l'àrea de la superfície del cilindre esdevé més gran que la d'un cilindre no pertorbat amb el mateix volum i, per tant, esdevé inestable. Més tard, Hove va formular els requisits variacionals per a l'estabilitat de superfícies capil·lars axisimètriques (sense límits) en absència de gravetat i amb pertorbacions restringides a un volum constant. Primer va resoldre l'equació de Young-Laplace per a formes d'equilibri i va demostrar que la condició de Legendre per a la segona variació sempre es compleix. Per tant, l'estabilitat està determinada per l'absència de valor propi negatiu de l'equació de Young-Laplace linealitzada. Aquest enfocament per determinar l'estabilitat a partir de la segona variació s'utilitza àmpliament araA.D. Myshkis and V.G. Babskii, Low-Gravity Fluid Mechanics: Mathematical Theory of Capillary Phenomena, Springer-Verlag 1987 Els mètodes de pertorbació van tenir molt d'èxit malgrat que la naturalesa no lineal de la interacció capil·lar pot limitar la seva aplicació. Altres mètodes ara inclouen la simulació directa. Fins a aquell moment, la majoria de mètodes per a la determinació de l'estabilitat requerien el càlcul de l'equilibri com a base per a les pertorbacions. Va aparèixer una nova idea que l'estabilitat es pot deduir dels estats d'equilibri. La proposició va ser demostrada encara més per PittsPitts, R., The Stability of a Drop Hanging from a Tube, IMA J Appl Math (1976) 17 (3): 387-397 per a un volum constant axisimètric. En els anys següents, Vogel va ampliar la teoria. Va examinar el cas dels ponts capil·lars axisimètrics amb volums constants i els canvis d'estabilitat corresponen a punts d'inflexió. El desenvolupament recent de la teoria de la bifurcació va demostrar que l'intercanvi d'estabilitat entre punts d'inflexió i punts de ramificació és un fenomen general.
Aplicacions i ocurrències Estudis recents van indicar que els antics egipcis utilitzaven les propietats de la sorra per crear ponts capil·lars utilitzant-hi aigua.A. Fall, B. Weber, M. Pakpour, N. Lenoir, N. Shahidzadeh, J. Fiscina, C. Wagner, and D. Bonn, Sliding Friction on Wet and Dry Sand Phys. Rev. Lett. 112, 175502, Published 29 April 2014 D'aquesta manera, reduïen la fricció superficial i eren capaços de moure estàtues i pedres piramidals pesades. Algunes arts contemporànies, com l'art de la sorra, també estan estretament relacionades amb la capacitat de l'aigua per unir partícules. En la microscòpia de força atòmica, quan es treballa en un ambient d'alta humitat, els seus estudis poden veure's afectats per l'aparició de ponts capil·lars de mida nanomètrica. Aquests ponts apareixen quan la punta de treball s'acosta a la mostra estudiada. Els ponts capil·lars també tenen un paper important en el procés de soldadura.Els ponts capil·lars també estan àmpliament estesos a la natura viva. Els insectes, les mosques, les llagostes i les granotes arborícoles són capaços d'adherir-se a superfícies rugoses verticals a causa de la seva capacitat d'injectar líquid humectant a la zona de contacte entre el substrat i la base. D'aquesta manera es crea una interacció atractiva a llarg abast a causa de la formació de ponts capil·lars. Molts problemes mèdics relacionats amb malalties respiratòries i la salut de les articulacions del cos depenen de petits ponts capil·lars. Els ponts líquids s'utilitzen ara habitualment en el creixement de cultius cel·lulars a causa de la necessitat d'imitar el treball dels teixits vius en la investigació científica.
Equacions generals La solució general per al perfil del capil·lar es coneix a partir de la consideració de la curvatura unduloide o nodoide.Princen N.M., "The Equilibrium Shape of Interfaces, Drops and Bubbles Rigid and Deformable Particles at Interfaces" in Surface and Colloid Science, ed. E. Matijievich, (1969), v.3, New York
Suposem el següent sistema de coordenades cilíndriques: z mostra l'eix de revolució; r representa la coordenada radial i φ és l'angle entre la normal i l'eix z positiu. El nodoide té tangents verticals a r = r1 i r = r2 i tangent horitzontal a r = r3 . Quan φ és l'angle entre la normal a la interfície i l'eix z positiu , aleshores φ és igual a 90°, 0° , -90° per al nodoide.
La solució general per al perfil del capil·lar es coneix a partir de la consideració de la curvatura unduloide o nodoide.Princen N.M., "The Equilibrium Shape of Interfaces, Drops and Bubbles Rigid and Deformable Particles at Interfaces" in Surface and Colloid Science, ed. E. Matijievich, (1969), v.3, New Yorkon R1, R2 són els radis de curvatura i γ és la tensió superficial interfacial.
La integració de l'equació s'anomena primera integral i dóna com a resultat:Ja que:
Es troba:
Després de la integració, l'equació obtinguda s'anomena segona integral:
on: F i E són integrals el·líptiques de primera i segona mena, i φ està relacionat amb r segons
L'unduloide només té tangents verticals a r = r1 i r = r2, on φ = + 90. De manera completament anàloga:
La segona integral per a l'undoloide s'obté:
on la relació entre els paràmetres k i φ es defineix de la mateixa manera que l'anterior. En el cas límit r1 =0, tant el nodoide com l'unduloide consten d'una sèrie d'esferes. Quan r1 = r2 . L'últim i molt interessant cas límit és el catenoide . L'equació de Laplace es redueix a:La seva integració es pot representar en una forma molt convenient, en un sistema de coordenades cilíndriques, anomenat equació catenaria:Princen N.M., "The Equilibrium Shape of Interfaces, Drops and Bubbles Rigid and Deformable Particles at Interfaces" in Surface and Colloid Science, ed. E. Matijievich, (1969), v.3, New York
L'equació (9) és important perquè mostra, de manera simplificada, tots els problemes relacionats amb els ponts capil·lars, de manera transparent. El dibuix en coordenades adimensionals mostra un màxim que distingeix dues branques. Una d'elles és energèticament favorable i sorgeix en estàtica, mentre que l'altra (en línia discontínua) no ho és energèticament. El màxim és important perquè, en estirar un pont capil·lar en quasi-equilibri, si s'arriba al màxim, es produeix una ruptura. Es poden formar catenoides amb dimensions energèticament desfavorables durant el procés d'estirament/pressió dinàmic. La pressió capil·lar zero C = 0 és natural per al catenoide clàssic (superfície de sabó capil·lar estirada entre dos anells coaxials). Quan un pont capil·lar típic arriba a l'estat catenoidal de C = 0, tot i que les seves propietats superficials són les mateixes que les del catenoide clàssic, és més apropiat presentar-lo escalat per arrel cúbica del seu volum en lloc del radi, R.
La solució de la segona integral és diferent en casos de ponts capil·lars oblats (nodoides i unduloides):on: F i E són de nou integrals el·líptiques de primera i segona mena, i φ està relacionada amb r segons: .
És important tenir en compte que totes les corbes descrites es troben rodant una secció cònica sense lliscament al llarg de l'eix z . L'undoide es descriu pel focus de l'el·lipse rodant, que pot degenerar en una línia, una esfera o una paràbola, donant lloc als casos límit corresponents. De manera similar, un nodoide es descriu pel focus d'una hipèrbola rodant.
Un resum ben sistematitzat de les formes dels ponts capil·lars es dóna a la taula 11.1 del llibre de Kralchevsky i Nagayama.
Estàtica entre dues superfícies planes L'equilibri mecànic comprèn el balanç de pressió a la interfície líquid/gas i la força externa sobre les plaques, ΔP, que equilibra l'atracció o repulsió capil·lar. , és a dir Si es negligeixen els efectes de la gravetat i altres camps externs, el balanç de pressions és ΔP = Pi - Pe (els índexs "i" i "e" denoten les pressions internes i externes corresponents). En cas de simetria axial, l'equació per a la pressió capil·lar pren la forma:on γ és la tensió interfacial líquid/gas; r és la coordenada radial i φ és l'angle entre la simetria de l'eix i la normal a la generatriu de la interfície.
La primera integral s'obté fàcilment pel que fa a la pressió capil·lar adimensional en contacte amb la superfície:on , el radi adimensional en el contacte és i θ és l'angle de contacte. La relació mostra que la pressió capil·lar pot ser positiva o negativa. La forma dels ponts capil·lars es regeix per l'equació: