En matemàtiques, el matemàtic Sophus Lie ( ) va iniciar línies d'estudi que incloïen la integració d'equacions diferencials, el grup d'automorfisme i el contacte d'esferes, que han arribat a anomenar-se teoria de Lie. Per exemple, aquest últim tema és la geometria de les esferes de Lie. Aquest article aborda el seu enfocament dels grups de transformació, que és una de les àrees de les matemàtiques, i va ser elaborat per Wilhelm Killing i Élie Cartan.
El fonament de la teoria de Lie és el mapa exponencial que relaciona les àlgebres de Lie amb els grups de Lie, que s'anomena correspondència grup de Lie-àlgebra de Lie. El tema forma part de la geometria diferencial, ja que els grups de Lie són varietats diferenciables. Els grups de Lie evolucionen a partir de la identitat (1) i els vectors tangents a subgrups d'un paràmetre generen l'àlgebra de Lie. L'estructura d'un grup de Lie està implícita en la seva àlgebra, i l'estructura de l'àlgebra de Lie s'expressa mitjançant sistemes d'arrels i dades d'arrels.
La teoria de Lie ha estat particularment útil en física matemàtica, ja que descriu els grups de transformació estàndard: el grup galileà, el grup de Lorentz, el grup de Poincaré i el grup conforme de l'espai-temps.
Teoria elemental de Lie Els grups d'un paràmetre són el primer exemple de la teoria de Lie. El cas compacte sorgeix a través de la fórmula d'Euler en el pla complex. Altres grups d'un paràmetre es produeixen en el pla de nombres complexos dividits com la hipèrbola unitària.
i en el pla de nombres duals com la recta En aquests casos, els paràmetres de l'àlgebra de Lie tenen noms: angle, angle hiperbòlic i pendent. Aquestes espècies d'angle són útils per proporcionar descomposicions polars que descriuen les subàlgebres planars de matrius reals de 2 x 2.
Hi ha un parell clàssic d'àlgebra i grup de Lie de 3 paràmetres: els quaternions de longitud unitària que es poden identificar amb la 3-esfera. La seva àlgebra de Lie és el subespai dels vectors de quaternions. Com que el commutador ij − ji = 2k, el parèntesi de Lie en aquesta àlgebra és el doble del producte vectorial de l'anàlisi vectorial ordinària.
Un altre exemple elemental de 3 paràmetres el dóna el grup de Heisenberg i la seva àlgebra de Lie. Els tractaments estàndard de la teoria de Lie sovint comencen amb els grups clàssics.
Història i abast Les primeres expressions de la teoria de Lie es troben en llibres compostos per Sophus Lie amb Friedrich Engel i Georg Scheffers entre 1888 i 1896.
En els primers treballs de Lie, la idea era construir una teoria de grups continus, per complementar la teoria de grups discrets que s'havia desenvolupat en la teoria de formes modulars, de la mà de Felix Klein i Henri Poincaré. L'aplicació inicial que Lie tenia en ment era la teoria d'equacions diferencials. Segons el model de la teoria de Galois i les equacions polinòmiques, la concepció principal era la d'una teoria capaç d'unificar, mitjançant l'estudi de la simetria, tota l'àrea de les equacions diferencials ordinàries.
Segons Thomas W. Hawkins Jr., va ser Élie Cartan qui va fer de la teoria de Lie el que és:
Tot i que Lie tenia moltes idees fèrtils, Cartan va ser el principal responsable de les extensions i aplicacions de la seva teoria que l'han convertit en un component bàsic de les matemàtiques modernes. Va ser ell qui, amb ajuda de Weyl, va desenvolupar les idees seminals, essencialment algebraiques, de Killing en la teoria de l'estructura i representació de les àlgebres de Lie semisimples que juga un paper tan fonamental en la teoria de Lie actual. I tot i que Lie va preveure aplicacions de la seva teoria a la geometria, va ser Cartan qui les va crear, per exemple a través de les seves teories d'espais simètrics i generalitzats, incloent-hi tots els aparells corresponents (referents mòbils, formes diferencials exteriors, etc.)
Els tres teoremes de Lie En el seu treball sobre grups de transformació, Sophus Lie va demostrar tres teoremes que relacionaven els grups i les àlgebres que porten el seu nom. El primer teorema exposava la base d'una àlgebra mitjançant transformacions infinitesimals.Robert Gilmore (1974) Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications, page 87, Wiley El segon teorema va mostrar constants d'estructura de l'àlgebra com a resultat dels productes del commutador a l'àlgebra.El tercer teorema va mostrar que aquestes constants són antisimètriques i satisfan la identitat de Jacobi.Com va escriure Robert Gilmore:
Els tres teoremes de Lie proporcionen un mecanisme per construir l'àlgebra de Lie associada a qualsevol grup de Lie. També caracteritzen les propietats d'una àlgebra de Lie. ¶ Els inversos dels tres teoremes de Lie fan el contrari: proporcionen un mecanisme per associar un grup de Lie amb qualsevol àlgebra de Lie de dimensió finita... El teorema de Taylor permet la construcció d'una funció d'estructura analítica canònica φ ( β, α ) a partir de l'àlgebra de Lie. ¶ Aquests set teoremes –els tres teoremes de Lie i els seus inversos, i el teorema de Taylor– proporcionen una equivalència essencial entre els grups de Lie i les àlgebres.Robert Gilmore (1974) Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications, page 87, Wiley
Aspectes de la teoria de Lie La teoria de Lie es basa sovint en l'estudi dels grups algebraics lineals clàssics. Les branques especials inclouen els grups de Weyl, els grups de Coxeter i els edificis. El tema clàssic s'ha ampliat als grups de tipus Lie.
El 1900, David Hilbert va desafiar els teòrics de Lie amb el seu Cinquè Problema presentat al Congrés Internacional de Matemàtics de París.
Referències
Categoria:Equacions diferencials