enllaç=https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Plot_of_the_Meiger_G_function_G(((a_1,...,a_n),(a_n+1,...,a_p)),((b_1,...,b_m),(b_m+1,...,b_q)),z)_input_((%C2%BD),()),((%E2%85%93),())_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i.svg|alt=Plot of the Meijer G function G(((a 1,...,a n),(a n+1,...,a p)),((b 1,...,b m),(b m+1,...,b q)),z) input ((),()),((),()) in the complex plane from -2-2i to 2+2i|miniatura|Gràfic de la funció G de Meijer G(((a 1,...,an),(a n+1,...,ap)),((b 1,...,bm),(b m+1,...,bq)),z) entrada (( ⁠ / 2 ) ⁠ ()),(( ⁠ 1 / 3 ⁠ ),()) en el pla complex des de -2-2i fins a 2+2i En matemàtiques, la funció G va ser introduïda per com una funció molt general que pretenia incloure la majoria de les funcions especials conegudes com a casos particulars. Aquest no va ser l'únic intent d'aquest tipus: la funció hipergeomètrica generalitzada i la funció E de MacRobert tenien el mateix objectiu, però la funció G de Meijer també va poder incloure-les com a casos particulars. La primera definició la va fer Meijer utilitzant una sèrie; avui dia la definició acceptada i més general és mitjançant una integral de línia en el pla complex, introduïda en la seva generalitat completa per Arthur Erdélyi el 1953.

Amb la definició moderna, la majoria de les funcions especials establertes es poden representar en termes de la funció G de Meijer. Una propietat notable és el tancament del conjunt de totes les funcions G no només sota diferenciació sinó també sota integració indefinida. En combinació amb una equació funcional que permet alliberar d'una funció G G (z) qualsevol factor zρ que sigui una potència constant del seu argument z, el tancament implica que sempre que una funció és expressable com a funció G d'un múltiple constant d'alguna potència constant de l'argument de la funció, f (x) = G (cxγ), la derivada i l'antiderivada d'aquesta funció també són expressables.

L'àmplia cobertura de funcions especials també dóna potència a usos de la funció G de Meijer a part de la representació i manipulació de derivades i antiderivades. Per exemple, la integral definida sobre l'eix real positiu de qualsevol funció g (x) que es pot escriure com un producte G1(cxγ)·G2(dxδ) de dues funcions G amb γ/δ racional és igual a una altra funció G, i les generalitzacions de transformades integrals com la transformada de Hankel i la transformada de Laplace i les seves inverses resulten quan s'utilitzen parells de funcions G adequats com a nuclis de transformació.

Una funció encara més general, que introdueix paràmetres addicionals a la funció G de Meijer, és la funció H de Fox.

Una aplicació de la funció G de Meijer ha estat l'espectre de partícules de la radiació d'un horitzó inercial en el model de mirall mòbil de l'efecte Casimir dinàmic .

Definició de la funció G de Meijer Una definició general de la funció G de Meijer ve donada per la següent integral de recta en el pla complex :

on Γ denota la funció gamma. Aquesta integral és del tipus anomenat Mellin-Barnes i es pot veure com una transformada inversa de Mellin. La definició es compleix sota les següents suposicions:

0 ≤ m ≤ q i 0 ≤ n ≤ p, on m, n, p i q són nombres enters a k − b j ≠ 1, 2, 3,... per a qualsevol combinació de {k, j} per a la qual k = 1, 2,..., n, i j = 1, 2,..., m, la qual cosa implica que cap pol de cap Γ( b j − s ), j = 1, 2,..., m, coincideix amb cap pol de cap Γ(1 − a k + s ), k = 1, 2,..., n z ≠ 0

Cal tenir en compte que, per raons històriques, el primer índex inferior i el segon índex superior fan referència a la fila superior de paràmetres, mentre que el segon índex inferior i el primer índex superior fan referència a la fila inferior de paràmetres. Sovint es troba la notació més sintètica següent utilitzant vectors:

Les implementacions de la funció G en sistemes d'àlgebra computacional solen emprar arguments vectorials separats per als quatre grups de paràmetres (possiblement buits ) a1... an, an +1... ap , b1... bm i bm +1... bq, i per tant poden ometre els ordres p, q, n i m com a redundants.

La L de la integral representa el camí a seguir durant la integració. Hi ha tres opcions possibles per a aquest camí:

1. L va des de − i ∞ fins a + i ∞ de manera que tots els pols de Γ( b j − s ), j = 1, 2,..., m, estan a la dreta del camí, mentre que tots els pols de Γ(1 − a k + s ), k = 1, 2,..., n, estan a l'esquerra. La integral convergeix llavors per a |arg z | < δ π, on

un requisit previ obvi per a això és δ > 0. La integral a més convergeix per a |arg z | = δ π ≥ 0 si (q − p) ( σ + 1 ⁄ 2 ) > Re( ν) + 1, on σ representa Re( s) a mesura que la variable d'integració s s'acosta tant a + i ∞ com a − i ∞, i on

Com a corol·lari, per |arg z | = δ π i p = q la integral convergeix independentment de σ sempre que Re( ν) < −1.

2. L és un bucle que comença i acaba a +∞, que envolta tots els pols de Γ( b j − s ), j = 1, 2,..., m, exactament una vegada en la direcció negativa, però que no envolta cap pol de Γ(1 − a k + s ), k = 1, 2,..., n. Aleshores, la integral convergeix per a tot z si q > p ≥ 0; també convergeix per a q = p > 0 sempre que | z | < 1. En aquest darrer cas, la integral també convergeix per a | z | = 1 si Re( ν) < −1, on ν es defineix com per al primer camí.

3. L és un bucle que comença i acaba a −∞ i que envolta tots els pols de Γ(1 − a k + s ), k = 1, 2,..., n, exactament una vegada en la direcció positiva, però que no envolta cap pol de Γ( b j − s ), j = 1, 2,..., m. Ara la integral convergeix per a tot z si p > q ≥ 0; també convergeix per a p = q > 0 sempre que | z | > 1. Com s'ha assenyalat també per al segon camí, en el cas de p = q la integral també convergeix per a | z | = 1 quan Re( ν) < −1.

Les condicions per a la convergència s'estableixen fàcilment aplicant l'aproximació asimptòtica de Stirling a les funcions gamma de l'integrand. Quan la integral convergeix per a més d'un d'aquests camins, es pot demostrar que els resultats de la integració coincideixen; si només convergeix per a un camí, aleshores aquest és l'únic que s'ha de considerar. De fet, la integració numèrica de camins en el pla complex constitueix un enfocament pràctic i sensat per al càlcul de les funcions G de Meijer.

Com a conseqüència d'aquesta definició, la funció G de Meijer és una funció analítica de z amb la possible excepció de l'origen z = 0 i del cercle unitari | z | = 1.

Equació diferencial La funció G satisfà la següent equació diferencial lineal d'ordre max( p, q ):

Per a un conjunt fonamental de solucions d'aquesta equació en el cas de p ≤ q es pot prendre:

i de manera similar en el cas de p ≥ q :

Aquestes solucions particulars són analítiques excepte per una possible singularitat a z = 0 (així com una possible singularitat a z = ∞), i en el cas de p = q també una singularitat inevitable a z = (−1) p − m − n. Com es veurà més endavant, es poden identificar amb funcions hipergeomètriques generalitzades p F q −1 d'argument (−1) p − m − n z que es multipliquen per una potència z b h, i amb funcions hipergeomètriques generalitzades q F p −1 d'argument (−1) q − m − n z − 1 que es multipliquen per una potència z a h −1, respectivament.

Relació entre la funció G i la funció hipergeomètrica generalitzada Si la integral convergeix quan s'avalua al llarg del segon camí introduït anteriorment, i si no apareixen pols confluents entre els Γ( b j − s ), j = 1, 2,..., m, aleshores la funció G de Meijer es pot expressar com una suma de residus en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades p F q −1 (teorema de Slater):

L'estrella indica que s'omet el terme corresponent a j = h. Perquè la integral convergeixi al llarg del segon camí, cal tenir p < q, o p = q i | z | < 1, i perquè els pols siguin diferents, cap parell entre els b j, j = 1, 2,..., m pot diferir en un nombre enter o zero. Els asteriscs de la relació ens recorden que cal ignorar la contribució amb índex j = h de la següent manera: En el producte, això equival a substituir Γ(0) per 1, i en l'argument de la funció hipergeomètrica, si recordem el significat de la notació vectorial,

això equival a escurçar la longitud del vector de q a q −1.

Tingueu en compte que quan m = 0, el segon camí no conté cap pol, i per tant la integral ha de desaparèixer idènticament,

si p < q, o p = q i | z | < 1.

De la mateixa manera, si la integral convergeix quan s'avalua al llarg del tercer camí anterior, i si no apareixen pols confluents entre els Γ(1 − a k + s ), k = 1, 2,..., n, aleshores la funció G es pot expressar com:

Per això, es requereix o bé p > q, o bé p = q i | z | > 1, i cap parell entre a k, k = 1, 2,..., n, pot diferir en un nombre enter o zero. Per a n = 0, en conseqüència, es té:

si p > q, o p = q i | z | > 1.

D'altra banda, qualsevol funció hipergeomètrica generalitzada es pot expressar fàcilment en termes de la funció G de Meijer:

on hem utilitzat la notació vectorial:

Això es compleix tret que un valor enter no positiu d'almenys un dels seus paràmetres ap redueixi la funció hipergeomètrica a un polinomi finit, en aquest cas el prefactor gamma de qualsevol de les funcions G s'anul·la i els conjunts de paràmetres de les funcions G violin el requisit a k − b j ≠ 1, 2, 3,... per a k = 1, 2,..., n i j = 1, 2,..., m de la definició anterior. A part d'aquesta restricció, la relació és vàlida sempre que la sèrie hipergeomètrica generalitzada pFq(z) convergeix, és a dir, per a qualsevol z finit quan p ≤ q, i per a | z | < 1 quan p = q + 1. En aquest darrer cas, la relació amb la funció G proporciona automàticament la continuació analítica de pFq(z) fins a | z | ≥ 1 amb una branca tallada des d'1 fins a ∞ al llarg de l'eix real. Finalment, la relació proporciona una extensió natural de la definició de la funció hipergeomètrica a ordres p > q + 1. Mitjançant la funció G, també podem resoldre l'equació diferencial hipergeomètrica generalitzada per a p > q + 1.

Propietats bàsiques de la funció G Com es pot veure a partir de la definició de la funció G, si apareixen paràmetres iguals entre ap i bq que determinen els factors del numerador i el denominador de l'integrand, la fracció es pot simplificar i, per tant, reduir l'ordre de la funció. Que l'ordre m o n disminueixi depèn de la posició particular dels paràmetres en qüestió. Així, si un dels a k, k = 1, 2,..., n, és igual a un dels b j, j = m + 1,..., q, la funció G redueix els seus ordres p, q i n :

Pel mateix motiu, si un dels ordres a k, k = n + 1,..., p, és igual a un dels ordres b j, j = 1, 2,..., m, aleshores la funció G redueix els seus ordres p, q i m :

A partir de la definició, també és possible derivar les propietats següents:

Les abreviatures ν i δ es van introduir a la definició de la funció G anterior.

Integrals definides que impliquen la funció G Entre les integrals definides que impliquen una funció G arbitrària, tenim:

Cal tenir en compte que les restriccions sota les quals existeix aquesta integral s'han omès aquí. Per descomptat, no és sorprenent que la transformada de Mellin d'una funció G condueixi de nou a l'integrand que apareix a la definició anterior.

Les integrals de tipus Euler per a la funció G vénen donades per:

Les restriccions exhaustives sota les quals existeixen aquestes integrals es poden trobar a la pàgina. 417 de "Tables of Integral Transforms", vol. II (1954), editat per A. Erdelyi. Cal tenir en compte que, atès el seu efecte sobre la funció G, aquestes integrals es poden utilitzar per definir l'operació d'integració fraccionària per a una classe força gran de funcions (operadors d'Erdélyi-Kober).

Un resultat de fonamental importància és que el producte de dues funcions G arbitràries integrades sobre l'eix real positiu es pot representar simplement amb una altra funció G (teorema de convolució):