En matemàtiques, la teoria de la llum de lluna monstruosa, o teoria de la llum de lluna, és la connexió inesperada entre el grup de monstres M i les funcions modulars, en particular la funció j. L'observació numèrica inicial va ser feta per John McKay el 1978, i la frase va ser encunyada per John Conway i Simon P. Norton el 1979.A short introduction to Monstrous Moonshine Valdo Tatitscheff January 24, 2019J. Conway and S. Norton. Monstrous Moonshine. Bull. Lond. Math. Soc., 11:308– 339, 1979Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow Erica Klarreich March 12, 2015 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/
Ara se sap que la monstruosa llum de la lluna es basa en una àlgebra d'operadors de vèrtex anomenada mòdul de llum de la lluna (o àlgebra de vèrtexs monstruosos) construïda per Igor Frenkel, James Lepowsky i Arne Meurman el 1988, que té el grup de monstres com el seu grup de simetries. Aquesta àlgebra d'operadors de vèrtex s'interpreta habitualment com una estructura subjacent a una teoria de camps conformal bidimensional, que permet a la física formar un pont entre dues àrees matemàtiques. Les conjectures fetes per Conway i Norton van ser demostrades per Richard Borcherds per al mòdul de llum de la lluna el 1992 utilitzant el teorema sense fantasma de la teoria de cordes i la teoria de les àlgebres d'operadors de vèrtexs i les àlgebres de Kac-Moody generalitzades.
Història El 1978, John McKay va descobrir que els primers termes de l'expansió de Fourier del J-invariant normalitzat (successió A014708 del OEIS) es podien expressar en termes de combinacions lineals de les dimensions de les representacions irreductibles. del grup de monstres M (successió A014708 del OEIS) amb coeficients petits no negatius. El J-invariant és amb i τ com la relació de semiperíode, i les M expressions, deixant = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298,..., són
Els LHS són els coeficients de , mentre que a la RHS els enters són les dimensions de les representacions irreductibles del grup de monstres M. (Com que hi pot haver diverses relacions lineals entre les com ara , la representació pot ser de més d'una manera).
McKay va veure això com una prova que hi ha una representació graduada de dimensió infinita que es produeix de manera natural de M, la dimensió graduada de la qual ve donada pels coeficients de J, i les peces de menor pes de la qual es descomponen en representacions irreductibles com s'ha indicat anteriorment. Després d'informar John G. Thompson d'aquesta observació, Thompson va suggerir que, com que la dimensió graduada és només la traça graduada de l'element identitat, les traces graduades dels elements no trivials g de M en aquesta representació també poden ser interessants.
Conway i Norton van calcular els termes d'ordre inferior d'aquestes traces graduades, ara conegudes com a sèries de McKay-Thompson Tg, i van descobrir que totes semblaven ser les expansions de Hauptmoduln. En altres paraules, si G g és el subgrup de SL2(R) que fixa Tg, aleshores el quocient de la meitat superior del pla complex per Gg és una esfera amb un nombre finit de punts eliminats i, a més, Tg genera el camp de funcions meromòrfiques en aquesta esfera.
Basant-se en els seus càlculs, Conway i Norton van produir una llista de Hauptmoduln i van conjecturar l'existència d'una representació graduada de dimensió infinita de M, les traces graduades de la qual Tg són les expansions de precisament les funcions de la seva llista.
El 1980, AOL Atkin, Paul Fong i Stephen D. Smith van produir proves computacionals sòlides que existeix aquesta representació graduada, descomponent un gran nombre de coeficients de J en representacions de M. Igor Frenkel, James Lepowsky i Arne Meurman van construir explícitament una representació graduada la dimensió graduada de la qual és J, anomenada mòdul Moonshine, donant una solució efectiva a la conjectura de McKay-Thompson, i també van determinar les traces graduades per a tots els elements del centralitzador d'una involució de M, resolent parcialment la conjectura de Conway-Norton. A més, van demostrar que l'espai vectorial que van construir, anomenat Mòdul Moonshine , té l'estructura addicional d'una àlgebra d'operadors de vèrtex, el grup d'automorfisme de la qual és precisament M.
El 1985, un grup de matemàtics, entre els quals hi havia John Conway, va publicar l'Atles of Finite Groups. L'Atles, que enumera tots els grups esporàdics, incloïa "Moonshine" com a secció a la seva llista de propietats notables del grup monstre.
Borcherds va demostrar la conjectura de Conway-Norton per al mòdul Moonshine el 1992. Va guanyar la Medalla Fields el 1998 en part per la seva solució a la conjectura.
El mòdul de lluna La construcció de Frenkel-Lepowsky-Meurman comença amb dues eines principals:
La construcció d'una àlgebra d'operadors de vèrtex de xarxa VL per a una xarxa parell L de rang n. En termes físics, aquesta és l'àlgebra quiral per a una corda bosònica compactada sobre un tor Rn/L. Es pot descriure aproximadament com el producte tensorial de l'anell de grups de L amb la representació de l'oscil·lador en n dimensions (que és isomorfa a un anell polinòmic en generadors numerablement infinits). Per al cas en qüestió, s'estableix que L és la xarxa de Leech, que té rang 24. La construcció de l'orbifold. En termes físics, això descriu una corda bosònica que es propaga sobre un orbifold quocient. La construcció de Frenkel-Lepowsky-Meurman va ser la primera vegada que els orbifolds van aparèixer en la teoria de camps conformes. Unit a la involució –1 de la xarxa de Leech, hi ha una involució h de VL, i un mòdul VL irreductible amb una torsió h, que hereta una involució que eleva h. Per obtenir el mòdul Moonshine, es pren el subespai del punt fix de h en la suma directa de V L i el seu mòdul tors.
Frenkel, Lepowsky i Meurman van demostrar que el grup d' automorfismes del mòdul moonshine, com a àlgebra d'operadors de vèrtex, és M. A més, van determinar que les traces graduades dels elements del subgrup 2 1+24. Co1 coincideixen amb les funcions predites per Conway i Norton..
Prova de Borcherds La demostració de Richard Borcherds de la conjectura de Conway i Norton es pot dividir en els passos principals següents:
Es comença amb una àlgebra d'operadors de vèrtex V amb una forma bilineal invariant, una acció de M per automorfismes, i amb una descomposició coneguda dels espais homogenis de set graus més baixos en M -representacions irreductibles. Això va ser proporcionat per la construcció i l'anàlisi del Mòdul Moonshine de Frenkel-Lepowsky-Meurman. Una àlgebra de Lie , anomenada àlgebra de Lie monstruosa, es construeix a partir de V utilitzant un functor de quantificació. És una àlgebra de Lie de Kac-Moody generalitzada amb una acció monstruosa per automorfismes. Utilitzant el teorema "sense fantasma" de Goddard-Thorn de la teoria de cordes, es troba que les multiplicitats d'arrel són coeficients de J. S'utilitza la identitat del producte infinit de Koike-Norton-Zagier per construir una àlgebra de Lie de Kac-Moody generalitzada mitjançant generadors i relacions. La identitat es demostra utilitzant el fet que els operadors de Hecke aplicats a J donen lloc a polinomis a J. En comparar les multiplicitats d'arrels, es descobreix que les dues àlgebres de Lie són isomorfes, i en particular, la fórmula del denominador de Weyl per a és precisament la identitat de Koike-Norton-Zagier. Utilitzant l'homologia de l'àlgebra de Lie i les operacions d'Adams, es dóna una identitat de denominador retorçada per a cada element. Aquestes identitats estan relacionades amb la sèrie de McKay-Thompson Tg de la mateixa manera que la identitat de Koike-Norton-Zagier està relacionada amb J. Les identitats del denominador retorçades impliquen relacions de recursió sobre els coeficients de Tg, i el treball no publicat de Koike va mostrar que les funcions candidates de Conway i Norton satisfien aquestes relacions de recursió. Aquestes relacions són prou fortes com per comprovar que els primers set termes coincideixen amb les funcions donades per Conway i Norton. Els termes més baixos provenen de la descomposició dels set espais homogenis de grau més baix donats al primer pas.
Així doncs, la demostració està completa. Més tard, Borcherds va dir: "Estava encantat quan vaig demostrar la conjectura de la il·lusió il·legal", i "De vegades em pregunto si aquesta és la sensació que tens quan prens certes drogues. En realitat no ho sé, ja que no he provat aquesta teoria meva".
Treballs més recents han simplificat i aclarit els darrers passos de la demostració. Jurisich va descobrir que el càlcul d'homologia es podia escurçar substancialment substituint la descomposició triangular habitual de l'àlgebra de Lie de Monster per una descomposició en una suma de gl² i dues àlgebres de Lie lliures. Cummins i Gannon van demostrar que les relacions de recursió impliquen automàticament que les sèries de McKay-Thompson són Hauptmoduln o acaben després de com a màxim 3 termes, eliminant així la necessitat de càlcul a l'últim pas.
Relació conjecturada amb la gravetat quàntica El 2007, E. Witten va suggerir que la correspondència AdS/CFT produeix una dualitat entre la gravetat quàntica pura en (2+1) dimensional d'espai anti de Sitter CFT holomòrfiques extremes. Gravetat pura la dimensió (2+1) no té graus de llibertat locals, però quan la constant cosmològica és negativa, hi ha un contingut no trivial en la teoria, a causa de l'existència de solucions de forats negres BTZ. Les CFT extremes, introduïdes per G. Höhn, es distingeixen per la manca de camps primaris de Virasoro en baixa energia, i el mòdul moonshine n'és un exemple.
Segons la proposta de Witten, la gravetat a l'espai AdS amb una constant cosmològica màximament negativa és AdS/CFT dual a una CFT holomorfa amb càrrega central c=24, i la funció de partició de la CFT és precisament j -744, és a dir, el caràcter gradual del mòdul de lluna. Assumint la conjectura de Frenkel-Lepowsky-Meurman que el mòdul de lluna és l'únic VOA holomorf amb càrrega central 24 i caràcter j -744, Witten va concloure que la gravetat pura amb una constant cosmològica màximament negativa és dual a la CFT monstruosa. Part de la proposta de Witten és que els camps primaris de Virasoro són duals als operadors creadors de forats negres, i com a comprovació de coherència, va trobar que en el límit de gran massa, l'estimació d'entropia semiclàssica de Bekenstein-Hawking per a una massa de forat negre determinada coincideix amb el logaritme de la multiplicitat primària de Virasoro corresponent al mòdul de lluna. En el règim de baixa massa, hi ha una petita correcció quàntica a l'entropia, p. ex., els camps primaris de menor energia donen ln(196883) ~ 12.19, mentre que l'estimació de Bekenstein-Hawking dóna 4 ~ 12.57.