La teoria de Chapman-Enskog proporciona un marc en el qual les equacions de la hidrodinàmica d'un gas es poden derivar de l'equació de Boltzmann. La tècnica justifica les relacions constitutives, que d'altra banda serien fenomenològiques, que apareixen en descripcions hidrodinàmiques com ara les equacions de Navier-Stokes. En fer-ho, s'obtenen expressions per a diversos coeficients de transport, com ara la conductivitat tèrmica i la viscositat, en termes de paràmetres moleculars. Així, la teoria de Chapman-Enskog constitueix un pas important en el pas d'una descripció microscòpica basada en partícules a una descripció hidrodinàmica contínua.
La teoria rep el nom de Sydney Chapman i David Enskog, que la van introduir de forma independent el 1916 i el 1917.
Descripció El punt de partida de la teoria de Chapman-Enskog és l'equació de Boltzmann per a la funció de distribució d'1 partícula :
on és un operador integral no lineal que modela l'evolució de sota col·lisions interpartícules. Aquesta no linealitat dificulta la resolució de l'equació completa de Boltzmann i motiva el desenvolupament de tècniques aproximades com la que proporciona la teoria de Chapman-Enskog.
Donat aquest punt de partida, les diverses suposicions subjacents a l'equació de Boltzmann també s'apliquen a la teoria de Chapman-Enskog. La més bàsica d'aquestes requereix una separació d'escala entre la durada de la col·lisió i el temps lliure mitjà entre col·lisions : Aquesta condició garanteix que les col·lisions siguin esdeveniments ben definits en l'espai i el temps, i es compleix si el paràmetre adimensional és petit, on és el rang d'interaccions interpartícules i és la densitat numèrica. A més d'aquesta suposició, la teoria de Chapman-Enskog també requereix que és molt més petit que qualsevol escala de temps extrínseca Aquestes són les escales de temps associades amb els termes del costat esquerre de l'equació de Boltzmann, que descriuen variacions de l'estat del gas al llarg de longituds macroscòpiques. Normalment, els seus valors estan determinats per condicions inicials/de contorn i/o camps externs. Aquesta separació d'escales implica que el terme col·lisional del costat dret de l'equació de Boltzmann és molt més gran que els termes de flux del costat esquerre. Per tant, es pot trobar una solució aproximada a partir de
Es pot demostrar que la solució d'aquesta equació és gaussiana:
on és la massa molecular i és la constant de Boltzmann. Es diu que un gas està en equilibri local si satisfà aquesta equació.Balescu, p. 450 La suposició d'equilibri local condueix directament a les equacions d'Euler, que descriuen fluids sense dissipació, és a dir, amb conductivitat tèrmica i viscositat iguals a L'objectiu principal de la teoria de Chapman-Enskog és obtenir sistemàticament generalitzacions de les equacions d'Euler que incorporin la dissipació. Això s'aconsegueix expressant les desviacions de l'equilibri local com una sèrie pertorbativa en nombre de Knudsen. , que és petit si Conceptualment, les equacions hidrodinàmiques resultants descriuen la interacció dinàmica entre el flux lliure i les col·lisions entre partícules. Aquestes últimes tendeixen a conduir el gas cap a l'equilibri local, mentre que les primeres actuen a través d'inhomogeneïtats espacials per allunyar el gas de l'equilibri local.Balescu, p. 451 Quan el nombre de Knudsen és de l'ordre d'1 o superior, el gas del sistema considerat no es pot descriure com un fluid.
Per a la primera comanda en s'obtenen les equacions de Navier-Stokes. El segon i tercer ordre donen lloc, respectivament, a les equacions de Burnett i a les equacions de super-Burnett.
Formulació matemàtica Com que el nombre de Knudsen no apareix explícitament a l'equació de Boltzmann, sinó implícitament en termes de la funció de distribució i les condicions de contorn, una variable fictícia s'introdueix per fer un seguiment de les ordres apropiades a l'expansió de Chapman-Enskog:
Petit implica el terme col·lisional domina el terme streaming , que és el mateix que dir que el nombre de Knudsen és petit. Per tant, la forma adequada per a l'expansió de Chapman-Enskog és
Les solucions que es poden expandir formalment d'aquesta manera es coneixen com a solucions normals de l'equació de Boltzmann. Aquesta classe de solucions exclou les contribucions no pertorbatives (com ara
), que apareixen a les capes límit o a prop de les capes de xoc internes. Per tant, la teoria de Chapman-Enskog es limita a situacions en què aquestes solucions són negligibles.
Substituint aquesta expansió i igualant els ordres de condueix a la jerarquia
on és un operador integral, lineal en els seus dos arguments, que satisfà i La solució a la primera equació és una gaussiana:
per a algunes funcions , , i L'expressió per a suggereix una connexió entre aquestes funcions i els camps hidrodinàmics físics definits com a moments de :
Des d'un punt de vista purament matemàtic, però, els dos conjunts de funcions no són necessàriament els mateixos per a (per a (són iguals per definició). De fet, procedint sistemàticament en la jerarquia, es troba que, de manera similar a , cadascun també conté funcions arbitràries de i la relació dels quals amb els camps hidrodinàmics físics és a priori desconeguda. Una de les suposicions simplificadores clau de la teoria de Chapman-Enskog és assumir que aquestes funcions, que altrament serien arbitràries, es poden escriure en termes dels camps hidrodinàmics exactes i els seus gradients espacials. En altres paraules, la dependència espacial i temporal de entra només implícitament a través dels camps hidrodinàmics. Aquesta afirmació és físicament plausible perquè els nombres petits de Knudsen corresponen al règim hidrodinàmic, en què l'estat del gas està determinat únicament pels camps hidrodinàmics. En el cas de , les funcions , , i es consideren exactament iguals als camps hidrodinàmics físics.
Tot i que aquestes suposicions són físicament plausibles, hi ha la qüestió de si realment existeixen solucions que satisfan aquestes propietats. Més precisament, cal demostrar que existeixen solucions que satisfan
A més, fins i tot si existeixen aquestes solucions, queda la qüestió addicional de si abasten el conjunt complet de solucions normals de l'equació de Boltzmann, és a dir, no representen una restricció artificial de l'expansió original en
Un dels èxits tècnics clau de la teoria de Chapman-Enskog és respondre positivament a aquestes dues preguntes. Així, almenys a nivell formal, no hi ha pèrdua de generalitat en l'enfocament de Chapman-Enskog.
Un cop establertes aquestes consideracions formals, es pot procedir a calcular El resultat és
on és un vector i un tensor, cadascun una solució d'una equació integral lineal inhomogènia que es pot resoldre explícitament mitjançant una expansió polinòmica. Aquí, els dos punts denoten el producte escalar doble, per a tensors , .
Prediccions De primer ordre en el nombre de Knudsen, el flux de calor es troba que obeeix la llei de conducció de calor de Fourier,
i el tensor de flux de momentum és la d'un fluid newtonià,
amb el tensor d'identitat. Aquí, i són la conductivitat tèrmica i la viscositat. Es poden calcular explícitament en termes de paràmetres moleculars resolent una equació integral lineal; la taula següent resumeix els resultats d'alguns models moleculars importants ( és la massa molecular i és la constant de Boltzmann).Chapman & Cowling, chapter 10
Taula 1: Expressions predites per a la conductivitat tèrmica i la viscositat. ModelRigid elastic spheres of diameter Molecules with repulsive force Lennard-Jones potential: Amb aquests resultats, és senzill obtenir les equacions de Navier-Stokes. Prendre els moments de velocitat de l'equació de Boltzmann condueix a les equacions de balanç exactes per als camps hidrodinàmics , , i :
Com a la secció anterior, els dos punts denoten el producte escalar doble, Substituint les expressions de Chapman-Enskog per i , s'arriba a les equacions de Navier-Stokes.
Extensions Els principis bàsics de la teoria de Chapman-Enskog es poden estendre a models físics més diversos, incloent-hi mescles de gasos i molècules amb graus de llibertat interns. En el règim d'alta densitat, la teoria es pot adaptar per tenir en compte el transport col·lisional de moment i energia, és a dir, el transport sobre un diàmetre molecular durant una col·lisió, en lloc de sobre un camí lliure mitjà ( entre col·lisions). La inclusió d'aquest mecanisme prediu una dependència de la viscositat respecte a la densitat a una densitat prou alta, que també s'observa experimentalment. L'obtenció de les correccions utilitzades per tenir en compte el transport durant una col·lisió per a molècules toves (és a dir, molècules de Lennard-Jones o Mie) en general no és trivial, però s'ha aconseguit èxit en l'aplicació de la teoria de pertorbacions de Barker-Henderson per descriure amb precisió aquests efectes fins a la densitat crítica de diverses mescles de fluids.
També es pot dur a terme la teoria a un ordre superior en el nombre de Knudsen. En particular, la contribució de segon ordre ha estat calculat per Burnett. En circumstàncies generals, però, aquestes correccions d'ordre superior poden no proporcionar millores fiables a la teoria de primer ordre, a causa del fet que l'expansió de Chapman-Enskog no sempre convergeix. (D'altra banda, es creu que l'expansió és com a mínim asimptòtica a les solucions de l'equació de Boltzmann, en aquest cas el truncament a ordre inferior encara dóna resultats precisos.) Fins i tot si les correccions d'ordre superior permeten una millora en un sistema determinat, la interpretació de les equacions hidrodinàmiques corresponents encara es debat.
Teoria revisada d'Enskog L'extensió de la teoria de Chapman-Enskog per a mescles multicomponents a densitats elevades, en particular, densitats en què el covolum de la mescla no és negligible, es va dur a terme en una sèrie de treballs d'EGD Cohen i altres, i es va encunyar com a teoria d'Enskog revisada (RET). La derivació amb èxit de RET va seguir diversos intents anteriors del mateix, però que van donar resultats que es van demostrar que eren inconsistents amb la termodinàmica irreversible.
Aplicacions Tot i que la teoria revisada d'Enskog ofereix molts avantatges respecte a la teoria clàssica de Chapman-Enskog, això té el preu de ser significativament més difícil d'aplicar a la pràctica. Mentre que la teoria clàssica de Chapman-Enskog es pot aplicar a potencials esfèrics arbitràriament complexos, donades rutines d'integració prou precises i ràpides per avaluar les integrals de col·lisió requerides, la teoria revisada d'Enskog, a més d'això, requereix coneixement del valor de contacte de la funció de distribució de parells.
Per a mescles d'esferes dures, aquest valor es pot calcular sense grans dificultats, però per a potencials intermoleculars més complexos generalment no és trivial d'obtenir. Tanmateix, s'ha aconseguit cert èxit en l'estimació del valor de contacte de la funció de distribució de parells per a fluids de Mie (que consisteix en partícules que interactuen a través d'un potencial de Lennard-Jones generalitzat) i l'ús d'aquestes estimacions per predir les propietats de transport de mescles denses de gasos i fluids supercrítics.
L'aplicació de RET a partícules que interactuen a través de potencials realistes també exposa al problema de determinar un "diàmetre de contacte" raonable per a les partícules toves. Tot i que aquests es defineixen de manera inequívoca per a esferes dures, encara no hi ha un valor generalment acordat que s'hauria d'utilitzar per al diàmetre de contacte de les partícules toves.
Referències
Categoria:Mecànica estadística