miniatura|Equació de Navier-Stokes La derivació de les equacions de Navier-Stokes, així com la seva aplicació i formulació per a diferents famílies de fluids, és un exercici important en dinàmica de fluids amb aplicacions en enginyeria mecànica, física, química, transferència de calor i enginyeria elèctrica. Una demostració que expliqui les propietats i els límits de les equacions, com ara l'existència i la suavitat de Navier-Stokes, és un dels problemes importants sense resoldre en matemàtiques.
Supòsits bàsics Les equacions de Navier-Stokes es basen en la suposició que el fluid, a l'escala d'interès, és un continu, és a dir, una substància contínua en lloc de partícules discretes. Una altra suposició necessària és que tots els camps d'interès, incloent-hi la pressió, la velocitat del flux, la densitat i la temperatura, són, com a mínim, feblement diferenciables.
Les equacions es deriven dels principis bàsics de continuïtat de la massa, conservació del moment i conservació de l'energia. De vegades cal considerar un volum finit arbitrari, anomenat volum de control, sobre el qual es poden aplicar aquests principis. Aquest volum finit es denota per i la seva superfície delimitadora . El volum de control pot romandre fix a l'espai o es pot moure amb el fluid.
La derivada material Els canvis en les propietats d'un fluid en moviment es poden mesurar de dues maneres diferents. Es pot mesurar una propietat determinada realitzant la mesura en un punt fix a l'espai a mesura que passen les partícules del fluid, o seguint una parcel·la de fluid al llarg de la seva línia de corrent. La derivada d'un camp respecte a una posició fixa a l'espai s'anomena derivada euleriana, mentre que la derivada que segueix una parcel·la en moviment s'anomena derivada advectiva o material (o lagrangiana).
La derivada material es defineix com loperador lineal:
on és la velocitat del flux. El primer terme a la dreta de l'equació és la derivada euleriana ordinària (la derivada en un marc de referència fix, que representa els canvis en un punt respecte al temps), mentre que el segon terme representa els canvis d'una quantitat respecte a la posició (vegeu advecció). Aquesta derivada "especial" és, de fet, la derivada ordinària d'una funció de moltes variables al llarg d'una trajectòria que segueix el moviment del fluid; es pot derivar mitjançant l'aplicació de la regla de la cadena en què es comproven els canvis al llarg de la trajectòria en totes les variables independents (és a dir, la derivada total).
Per exemple, la mesura dels canvis en la velocitat del vent a l'atmosfera es pot obtenir amb l'ajuda d'un anemòmetre en una estació meteorològica o observant el moviment d'un globus meteorològic. En el primer cas, l'anemòmetre mesura la velocitat de totes les partícules en moviment que passen per un punt fix a l'espai, mentre que en el segon cas l'instrument mesura els canvis de velocitat a mesura que es mou amb el flux.
Equacions de continuïtat L'equació de Navier-Stokes és una equació de continuïtat especial. Una equació de continuïtat es pot derivar dels principis de conservació de:
massa, impuls, energia.
Una equació de continuïtat (o llei de conservació) és una relació integral que estableix que la taxa de canvi d'alguna propietat integrada definida sobre un volum de control ha de ser igual a la taxa a la qual es perd o es guanya a través dels límits del volum més la taxa a la qual es crea o es consumeix per les fonts i els embornals dins del volum. Això s'expressa mitjançant la següent equació de continuïtat integral:
on és la velocitat de flux del fluid, és el vector normal unitari que apunta cap a l'exterior i representa les fonts i els sumidoirs del flux, prenent els sumidoirs com a positius.
El teorema de la divergència es pot aplicar a la integral de superfície, transformant-la en una integral de volum:
Aplicant el teorema del transport de Reynolds a la integral de l'esquerra i combinant totes les integrals:
La integral ha de ser zero per a qualsevol volum de control; això només pot ser cert si l'integrand en si és zero, de manera que:
A partir d'aquesta valuosa relació (una equació de continuïtat molt genèrica), es poden escriure de manera concisa tres conceptes importants: conservació de la massa, conservació del moment i conservació de l'energia. La validesa es manté si és un vector, en aquest cas el producte vector-vector en el segon terme serà una díada.
Conservació de la massa També es pot considerar la massa. Quan la propietat intensiva es considera com la massa, per substitució a l'equació general de continuïtat i prenent (sense fonts ni embornals de massa):
on és la densitat de massa (massa per unitat de volum) i és la velocitat del flux. Aquesta equació s'anomena equació de continuïtat de massa o, simplement, equació de continuïtat. Aquesta equació generalment acompanya l'equació de Navier-Stokes.
En el cas d'un fluid incompressible,
que de fet és una afirmació de la conservació del volum.
Conservació del moment Una equació general de moment s'obté quan s'aplica la relació de conservació al moment. Quan la propietat intensiva es considera com el flux de massa (també densitat de moment), és a dir, el producte de la densitat de massa i la velocitat del flux , per substitució a l'equació general de continuïtat:
on és una díada, un cas especial de producte tensorial, que resulta en un tensor de segon rang; la divergència d'un tensor de segon rang és de nou un vector (un tensor de primer rang).
Utilitzant la fórmula per a la divergència d'una díada,
llavors tenim
Tingueu en compte que el gradient d'un vector és un cas especial de la derivada covariant, l'operació dóna com a resultat tensors de segon rang; excepte en coordenades cartesianes, és important entendre que això no és simplement un gradient element per element. Reordenació :
L'expressió situada més a l'esquerra entre parèntesis és, per continuïtat de massa (mostrada abans), igual a zero. Cal destacar que el que queda al costat esquerre de l'equació és la derivada material de la velocitat del flux:
Això sembla ser simplement una expressió de la segona llei de Newton () en termes de forces corporals en lloc de forces puntuals. Cada terme en qualsevol cas de les equacions de Navier-Stokes és una força corporal. Una manera més curta però menys rigorosa d'arribar a aquest resultat seria l'aplicació de la regla de la cadena a l'acceleració:
on . La raó per la qual això és "menys rigorós" és que no hem demostrat que l'elecció de
és correcte; tanmateix, té sentit, ja que amb aquesta elecció de trajectòria la derivada "segueix" una "partícula" fluida, i perquè la segona llei de Newton funcioni, les forces s'han de sumar després d'una partícula. Per aquesta raó, la derivada convectiva també es coneix com a derivada de partícula.
Equació de moment de Cauchy La densitat genèrica de les de moment vistes anteriorment s'especifica primer dividint-la en dos termes nous, un per descriure tensions internes i un altre per a forces externes, com ara la gravetat. Examinant les forces que actuen sobre un petit cub en un fluid, es pot demostrar que
on és el tensor de tensions de Cauchy, i té en compte les forces del cos presents. Aquesta equació s'anomena equació de moment de Cauchy i descriu la conservació del moment no relativista de qualsevol'' continu que conserva la massa. és un tensor simètric de rang dos donat pels seus components covariants. En coordenades ortogonals en tres dimensions es representa com la 3 × 3 matrius:
on són tensions normals i tensions de cisallament. Aquesta matriu es divideix en dos termes:
on és el 3 × 3 matriu d'identitat i és el tensor de tensió desviatòria. Cal tenir en compte que la pressió mecànica és igual al negatiu de la tensió normal mitjana:
La motivació per fer això és que la pressió sol ser una variable d'interès, i això també simplifica l'aplicació a famílies de fluids específiques més endavant, ja que el tensor situat més a la dreta a l'equació anterior ha de ser zero per a un fluid en repòs. Cal tenir en compte que no té traça. L'equació de Cauchy ara es pot escriure en una altra forma més explícita:
Aquesta equació encara està incompleta. Per completar-la, cal fer hipòtesis sobre les formes de i , és a dir, es necessita una llei constitutiva per al tensor de tensions que es pugui obtenir per a famílies de fluids específiques i sobre la pressió. Algunes d'aquestes hipòtesis condueixen a les equacions d'Euler (dinàmica de fluids), altres condueixen a les equacions de Navier-Stokes. A més, si se suposa que el flux és compressible, caldrà una equació d'estat, que probablement requerirà una formulació de la conservació de l'energia.
Aplicació a diferents fluids La forma general de les equacions de moviment no està "llesta per al seu ús", el tensor de tensió encara és desconegut, de manera que es necessita més informació; aquesta informació normalment és un coneixement del comportament viscós del fluid. Per a diferents tipus de flux de fluids, això resulta en formes específiques de les equacions de Navier-Stokes.
Formulació de la funció de flux En l'anàlisi d'un flux, sovint és desitjable reduir el nombre d'equacions i/o el nombre de variables. L'equació incompressible de Navier-Stokes amb continuïtat de massa (quatre equacions en quatre incògnites) es pot reduir a una sola equació amb una sola variable dependent en 2D, o una equació vectorial en 3D. Això és possible gràcies a dues identitats de càlcul vectorial:
per a qualsevol escalar diferenciable i vector La primera identitat implica que qualsevol terme de l'equació de Navier-Stokes que es pugui representar com el gradient d'un escalar desapareixerà quan es prengui el curvat de l'equació. Normalment, la pressió i l'acceleració externa s'eliminaran, donant com a resultat (això és cert tant en 2D com en 3D):
on se suposa que totes les forces del cos es poden descriure com a gradients (per exemple, és cert per a la gravetat), i la densitat s'ha dividit de manera que la viscositat esdevé viscositat cinemàtica.
La segona identitat de càlcul vectorial anterior estableix que la divergència de la curvatura d'un camp vectorial és zero. Com que l'equació de continuïtat de massa (incompressible) especifica que la divergència de la velocitat del flux és zero, podem substituir la velocitat del flux per la curvatura d'algun vector de manera que la continuïtat de massa sempre es compleixi:
Així doncs, sempre que la velocitat del flux es representi mitjançant , la continuïtat de massa es satisfà incondicionalment. Amb aquesta nova variable vectorial dependent, l'equació de Navier-Stokes (amb el curl pres com s'havia esmentat anteriorment) esdevé una única equació vectorial de quart ordre, que ja no conté la variable de pressió desconeguda i ja no depèn d'una equació de continuïtat de massa separada:
A part de contenir derivades de quart ordre, aquesta equació és força complicada i, per tant, poc freqüent. Cal tenir en compte que si s'omet la diferenciació creuada, el resultat és una equació vectorial de tercer ordre que conté un camp vectorial desconegut (el gradient de pressió) que es pot determinar a partir de les mateixes condicions de contorn que s'aplicarien a l'equació de quart ordre anterior.
Flux 2D en coordenades ortogonals La veritable utilitat d'aquesta formulació es veu quan el flux és de naturalesa bidimensional i l'equació s'escriu en un sistema de coordenades ortogonals general, és a dir, un sistema on els vectors base són ortogonals. Cal tenir en compte que això no limita de cap manera l'aplicació a les coordenades cartesianes; de fet, la majoria dels sistemes de coordenades comuns són ortogonals, inclosos els familiars com els cilíndrics i els més obscurs com els toroïdals.
La velocitat del flux en 3D s'expressa com (tingueu en compte que la discussió no ha utilitzat coordenades fins ara):