En matemàtiques, les coordenades log-polars (o coordenades polars logarítmiques) són un sistema de coordenades en dues dimensions, on un punt s'identifica mitjançant dos nombres, un per al logaritme de la distància a un cert punt i un per a un angle. Les coordenades log-polars estan estretament relacionades amb les coordenades polars, que normalment s'utilitzen per descriure dominis en el pla amb algun tipus de simetria rotacional. En àrees com l'anàlisi harmònica i complexa, les coordenades log-polars són més canòniques que les coordenades polars.
Definició i transformacions de coordenades Les coordenades log-polars en el pla consten d'un parell de nombres reals (ρ,θ), on ρ és el logaritme de la distància entre un punt donat i l'origen i θ és l'angle entre una línia de referència (l'eix x) i la línia que passa per l'origen i el punt. La coordenada angular és la mateixa que per a les coordenades polars, mentre que la coordenada radial es transforma segons la regla
.
On és la distància a l'origen. Les fórmules per a la transformació de coordenades cartesianes a coordenades log-polars es donen per
i les fórmules per a la transformació de coordenades log-polars a cartesianes són
Fent servir nombres complexos (x , i) = x + iy, la darrera transformació es pot escriure com
és a dir, la funció exponencial complexa. D'això es dedueix que les equacions bàsiques en l'anàlisi harmònica i complexa tindran la mateixa forma simple que en les coordenades cartesianes. Aquest no és el cas de les coordenades polars.
Algunes equacions importants en coordenades log-polars Equació de Laplace L'equació de Laplace en dues dimensions ve donada per
en coordenades cartesianes. Escrivint la mateixa equació en coordenades polars s'obté l'equació més complicada
o equivalentment
Tanmateix, a partir de la relació d'això es dedueix que així doncs, l'equació de Laplace en coordenades log-polars,
té la mateixa expressió simple que en les coordenades cartesianes. Això és cert per a tots els sistemes de coordenades on la transformació a coordenades cartesianes ve donada per una aplicació conforme. Per tant, quan es considera l'equació de Laplace per a una part del pla amb simetria rotacional, p. ex. un disc circular, les coordenades log-polars són l'elecció natural.
Equacions de Cauchy – Riemann Una situació similar sorgeix quan es consideren funcions analítiques. Una funció analítica escrit en coordenades cartesianes compleix les equacions de Cauchy – Riemann:
Si la funció s'expressa en forma polar , les equacions de Cauchy – Riemann prenen la forma més complicada
Igual que en el cas de l'equació de Laplace, la forma simple de les coordenades cartesianes es recupera canviant les coordenades polars a log-polars (sigui ):
Les equacions de Cauchy – Riemann també es poden escriure en una sola equació com
En expressar i en termes de i aquesta equació es pot escriure en la forma equivalent
L'equació d'Euler Quan es vol resoldre el problema de Dirichlet en un domini amb simetria rotacional, el que s'ha de fer habitualment és utilitzar el mètode de separació de variables per a equacions diferencials parcials per a l'equació de Laplace en forma polar. Això significa que s'escriu L'equació de Laplace es separa llavors en dues equacions diferencials ordinàries
on és una constant. La primera d'aquestes té coeficients constants i es resol fàcilment. La segona és un cas especial de l'equació d'Euler
on són constants. Aquesta equació es resol normalment amb l'ansatz , però mitjançant l'ús del radi log-polar, es pot convertir en una equació amb coeficients constants:
Si considerem l'equació de Laplace, i així l'equació per a pren la forma simple
Quan es resol el problema de Dirichlet en coordenades cartesianes, aquestes són exactament les equacions per a i Així doncs, una vegada més, l'elecció natural per a un domini amb simetria rotacional no són les coordenades polars, sinó log-polars.
Geometria discreta miniatura|Sistema de coordenades discret en un disc circular donat per coordenades log-polars (n = 25) Per resoldre numèricament una EDP en un domini, cal introduir un sistema de coordenades discret en aquest domini. Si el domini té simetria rotacional i voleu una malla formada per rectangles, les coordenades polars són una mala elecció, ja que al centre del cercle donen lloc a triangles en lloc de rectangles. Tanmateix, això es pot solucionar introduint coordenades log-polars de la manera següent. Dividiu el pla en una malla de quadrats amb una longitud de costat 2/n, on n és un nombre enter positiu. Utilitzeu la funció exponencial complexa per crear una malla log-polar al pla. El semiplà esquerre es mapeja al disc unitari, amb el nombre de radis igual a n. Pot ser encara més avantatjós representar les diagonals en aquests quadrats, cosa que dóna un sistema de coordenades discret en el disc unitari que consisteix en espirals, vegeu la figura de la dreta.
Operador de Dirichlet a Neumann Aquest darrer sistema de coordenades és adequat, per exemple, per tractar problemes de Dirichlet i Neumann. Si el sistema de coordenades discret s'interpreta com un gràfic no dirigit en el disc unitari, es pot considerar com un model per a una xarxa elèctrica. A cada segment de línia del gràfic s'associa una conductància donada per una funció La xarxa elèctrica servirà aleshores com a model discret per al problema de Dirichlet en el disc unitari, on l'equació de Laplace pren la forma de la llei de Kirchhoff. Als nodes del límit del cercle, es defineix un potencial elèctric (dades de Dirichlet), que indueix un corrent elèctric (dades de Neumann) a través dels nodes del límit. L'operador lineal de dades de Dirichlet a dades de Neumann s'anomena operador de Dirichlet a Neumann i depèn de la topologia i la conductància de la xarxa. miniatura|Sistema de coordenades discret en un disc circular que es pot expressar fàcilment en coordenades log-polars (n = 25) En el cas del disc continu, es dedueix que si la conductància és homogènia, diguem a tot arreu, aleshores l'operador de Dirichlet a Neumann satisfà la següent equació
Anàlisi d'imatges Ja a finals de la dècada de 1970, es van donar aplicacions per al sistema de coordenades espirals discretes en l'anàlisi d'imatges (registre d'imatges). Representar una imatge en aquest sistema de coordenades en lloc de en coordenades cartesianes ofereix avantatges computacionals en girar o ampliar una imatge. A més, els fotoreceptors de la retina de l'ull humà estan distribuïts d'una manera que té grans similituds amb el sistema de coordenades espirals.Weiman, Chaikin, Logarithmic Spiral Grids for Image Processing and Display, Computer Graphics and Image Processing 11, 197–226 (1979). També es pot trobar al fractal de Mandelbrot (vegeu la imatge de la dreta). miniatura|Part d'un fractal de Mandelbrot que mostra un comportament en espiral Les coordenades log-polars també es poden utilitzar per construir mètodes ràpids per a la transformada de radó i la seva inversa.Andersson, Fredrik, Fast Inversion of the Radon Transform Using Log-polar Coordinates and Partial Back-Projections, SIAM J. Appl. Math. 65, 818–837 (2005).
Referències
Categoria:Sistemes de coordenades