Generalitzacions de la derivada: en matemàtiques, la derivada és una construcció fonamental del càlcul diferencial i admet moltes generalitzacions possibles dins dels camps de l'anàlisi matemàtica, la combinatòria, l'àlgebra, la geometria, etc.

Derivada de Fréchet La derivada de Fréchet defineix la derivada per a espais vectorials normats generals Breument, una funció , on és un subconjunt obert de , s'anomena diferenciable de Fréchet a si existeix un operador lineal limitat de tal manera que

Les funcions es defineixen com a diferenciables en algun entorn obert de , en lloc d'en punts individuals, ja que no fer-ho tendeix a conduir a molts contraexemples patològics.

La derivada de Fréchet és força similar a la fórmula de la derivada que es troba en el càlcul elemental d'una variable, i simplement mou A cap al costat esquerre. Tanmateix, la derivada de Fréchet A denota la funció .

En càlcul multivariable, en el context de les equacions diferencials definides per una funció vectorial R n a R m, la derivada de Fréchet A és un operador lineal sobre R considerat com un espai vectorial sobre si mateix, i correspon a la millor aproximació lineal d'una funció. Si existeix un operador d'aquest tipus, aleshores és únic i es pot representar mitjançant una matriu m per n coneguda com la matriu jacobiana Jx (ƒ) de l'aplicació ƒ en el punt x. Cada entrada d'aquesta matriu representa una derivada parcial, que especifica la taxa de canvi d'una coordenada de rang respecte a un canvi en una coordenada de domini. Per descomptat, la matriu jacobiana de la composició g ° f és un producte de les matrius jacobianes corresponents: Jx ( g ° f) = Jƒ( x ) ( g) Jx (ƒ). Aquesta és una afirmació de dimensió superior de la regla de la cadena.

Per a funcions amb valors reals de Rn a R (camps escalars), la derivada de Fréchet correspon a un camp vectorial anomenat derivada total. Això es pot interpretar com el gradient , però és més natural utilitzar la derivada exterior.

La derivada convectiva té en compte els canvis deguts a la dependència del temps i al moviment a través de l'espai al llarg d'un camp vectorial, i és un cas especial de la derivada total.

Per a funcions vectorials de R a Rn (és a dir, corbes paramètriques), la derivada de Fréchet correspon a prendre la derivada de cada component per separat. La derivada resultant es pot assignar a un vector. Això és útil, per exemple, si la funció vectorial és el vector de posició d'una partícula al llarg del temps, aleshores la derivada és el vector de velocitat de la partícula al llarg del temps.

En l'anàlisi complexa, els objectes centrals d'estudi són les funcions holomorfes, que són funcions amb valors complexos sobre els nombres complexos on existeix la derivada de Fréchet.

En càlcul geomètric, la derivada geomètrica satisfà una forma més feble de la regla de Leibniz (producte). Especialitza la derivada de Fréchet als objectes de l'àlgebra geomètrica. El càlcul geomètric és un formalisme potent que s'ha demostrat que abasta els marcs similars de les formes diferencials i la geometria diferencial.David Hestenes, Garrett Sobczyk: Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for mathematics and Physics (Dordrecht/Boston:G.Reidel Publ.Co., 1984,

Derivada exterior i derivada de Lie A l'àlgebra exterior de formes diferencials sobre una varietat llisa, la derivada exterior és l'única aplicació lineal que satisfà una versió graduada de la llei de Leibniz i quadra a zero. És una derivació de grau 1 de l'àlgebra exterior. A R3, el gradient, la curvatura i la divergència són casos especials de la derivada exterior. Una interpretació intuïtiva del gradient és que apunta "cap amunt": en altres paraules, apunta en la direcció de l'augment més ràpid de la funció. Es pot utilitzar per calcular derivades direccionals de funcions escalars o direccions normals. La divergència dóna una mesura de quanta "font" o "embornal" hi ha prop d'un punt. Es pot utilitzar per calcular el flux mitjançant el teorema de la divergència. La curvatura mesura quanta "rotació" té un camp vectorial prop d'un punt.

La derivada de Lie és la taxa de canvi d'un camp vectorial o tensorial al llarg del flux d'un altre camp vectorial. En els camps vectorials, és un exemple de parèntesi de Lie (els camps vectorials formen l'àlgebra de Lie del grup de difeomorfismes de la varietat). És una derivació de grau 0 de l'àlgebra.

Juntament amb el producte interior (una derivació de grau -1 sobre l'àlgebra exterior definida per contracció amb un camp vectorial), la derivada exterior i la derivada de Lie formen una superàlgebra de Lie.

Topologia diferencial En topologia diferencial, un camp vectorial es pot definir com una derivació de l'anell de funcions suaus en una varietat, i un vector tangent es pot definir com una derivació en un punt. Això permet l'abstracció de la noció de derivada direccional d'una funció escalar a varietats generals. Per a varietats que són subconjunts de Rn, aquest vector tangent coincidirà amb la derivada direccional.

El diferencial o impuls en endavant d'una aplicació entre varietats és l'aplicació induïda entre espais tangents d'aquestes varietats. Abstrau la matriu jacobiana.

Derivada covariant En geometria diferencial, la derivada covariant fa una elecció per prendre derivades direccionals de camps vectorials al llarg de corbes. Això estén la derivada direccional de funcions escalars a seccions de fibrats vectorials o fibrats principals. En geometria riemanniana, l'existència d'una mètrica tria una única derivada covariant lliure de torsió preferida, coneguda com a connexió de Levi-Civita. Vegeu també derivada covariant de gauge per a un tractament orientat a la física.

La derivada covariant exterior estén la derivada exterior a formes amb valors vectorials.

Derivades febles Donada una funció que és localment integrable, però no necessàriament clàssicament diferenciable, una derivada feble es pot definir mitjançant la integració per parts. Primer definiu les funcions de prova, que són funcions infinitament diferenciables i amb suport compacte. , i índexs múltiples, que tenen una longitud llistes d'enters amb Aplicat a les funcions de prova, Aleshores, el derivada feble de existeix si hi ha una funció de manera que per a totes les funcions de prova , tenim

Si existeix una funció així, aleshores , que és única gairebé a tot arreu. Aquesta definició coincideix amb la derivada clàssica per a funcions , i es pot estendre a un tipus de funcions generalitzades anomenades distribucions, l'espai dual de les funcions de prova. Les derivades febles són particularment útils en l'estudi d'equacions diferencials parcials i dins de parts de l'anàlisi funcional.

Derivades d'ordre superior i fraccionàries En els nombres reals es pot iterar el procés de diferenciació, és a dir, aplicar derivades més d'una vegada, obtenint derivades de segon ordre i superior. També es poden definir derivades superiors per a funcions de diverses variables, estudiades en càlcul multivariable. En aquest cas, en lloc d'aplicar repetidament la derivada, s'aplica repetidament derivades parcials respecte a diferents variables. Per exemple, les derivades parcials de segon ordre d'una funció escalar de n variables es poden organitzar en una matriu n per n, la matriu hessiana. Un dels punts subtils és que les derivades superiors no estan intrínsecament definides i depenen de l'elecció de les coordenades d'una manera complicada (en particular, la matriu hessiana d'una funció no és un tensor). No obstant això, les derivades superiors tenen aplicacions importants a l'anàlisi dels extrems locals d'una funció en els seus punts crítics. Per a una aplicació avançada d'aquesta anàlisi a la topologia de varietats, vegeu la teoria de Morse.

Derivades en àlgebra En àlgebra, les generalitzacions de la derivada es poden obtenir imposant la regla de diferenciació de Leibniz en una estructura algebraica, com ara un anell o una àlgebra de Lie.

Derivacions Una derivació és una aplicació lineal en un anell o àlgebra que satisfà la llei de Leibniz (la regla del producte). També es poden definir derivades superiors i operadors diferencials algebraics. S'estudien en un context purament algebraic en la teoria diferencial de Galois i la teoria dels D-mòduls, però també apareixen en moltes altres àrees, on sovint coincideixen amb definicions menys algebraiques de derivades.

Per exemple, la derivada formal d'un polinomi sobre un anell commutatiu R es defineix per

El mapatge és llavors una derivació de l'anell polinòmic R [ X ]. Aquesta definició també es pot estendre a funcions racionals.

La noció de derivació s'aplica tant a anells no commutatius com commutatius, i fins i tot a estructures algebraiques no associatives, com ara les àlgebres de Lie.

Referències

Categoria:Derivació Categoria:Matemàtiques