L'equació de vorticitat de la dinàmica de fluids descriu l'evolució de la vorticitat d'una partícula d'un fluid a mesura que es mou amb el seu flux; és a dir, la rotació local del fluid (en termes de càlcul vectorial, això és el rotacional de la velocitat del flux). L'equació governant és:on ⁠D/Dt⁠ és l'operador derivatiu del material, u és la velocitat del flux, ρ és la densitat local del fluid, p és la pressió local, τ és el tensor de tensió viscosa i B representa la suma de les forces externes del cos. El primer terme font a la dreta representa l'estirament del vòrtex.

L'equació és vàlida en absència de parells de forces concentrats i forces lineals per a un fluid compressible, newtonià. En el cas de flux incompressible (és a dir, nombre de Mach baix) i fluids isotròpics, amb forces corporals conservatives, l'equació es simplifica a l'equació de transport de vorticitat:

on és la viscositat cinemàtica i és l'operador de Laplace. Sota la suposició addicional de flux bidimensional, l'equació es simplifica a:

Interpretació física El terme ⁠Dω/Dt⁠ a l'esquerra és la derivada material del vector de vorticitat ω. Descriu la taxa de canvi de vorticitat de la partícula de fluid en moviment. Aquest canvi es pot atribuir a la inestabilitat del flux (⁠∂ω/∂t⁠, el terme inestacionari) o a causa del moviment de la partícula de fluid a mesura que es mou d'un punt a un altre ((u ∙ ∇)ω, el terme de convecció). El terme (ω ∙ ∇) u a la dreta descriu l'estirament o la inclinació de la vorticitat a causa dels gradients de velocitat del flux. Cal tenir en compte que (ω ∙ ∇) u és una quantitat vectorial, ja que ω ∙ ∇ és un operador diferencial escalar, mentre que ∇u és una quantitat tensorial de nou elements. El terme ω(∇ ∙ u) descriu l'estirament de la vorticitat a causa de la compressibilitat del flux. Es desprèn de l'equació de Navier-Stokes per a la continuïtat, és a dir

on v = ⁠1/ρ⁠ és el volum específic de l'element fluid. Es pot pensar en ∇ ∙ u com una mesura de la compressibilitat del flux. De vegades, el signe negatiu s'inclou en el terme.

El terme ⁠1/ρ2⁠∇ρ × ∇p és el terme baroclínic. Explica els canvis en la vorticitat a causa de la intersecció de les superfícies de densitat i pressió.

El terme ∇ × (⁠∇ ∙ τ/ρ⁠) explica la difusió de la vorticitat a causa dels efectes viscosos.

El terme ∇ × B fa referència als canvis a forces externes del cos. Aquestes són forces que es distribueixen per una regió tridimensional del fluid, com ara la gravetat o les forces electromagnètiques. (A diferència de les forces que actuen només sobre una superfície (com l'arrossegament en una paret) o una línia (com la tensió superficial al voltant d'un menisc).

Simplificacions En el cas de forces corporals conservatives, . Per a un fluid barotròpic, Això també és cert per a un fluid de densitat constant (inclòs el fluid incompressible) on Cal tenir en compte que això no és el mateix que un flux incompressible, per al qual no es pot negligir el terme barotròpic. Aquesta nota sembla que parla del fet que la conservació de la quantitat de moviment diu i hi ha una diferència entre assumir que ρ = constant (l'opció de "fluid incompressible", anterior) i que (l'opció de «flux incompressible», anterior). Amb la primera suposició, la conservació del moment implica (per a una densitat diferent de zero) que ; mentre que la segona suposició no implica necessàriament que ρ sigui constant. Aquesta segona suposició només requereix estrictament que la taxa de canvi de la densitat al llarg del temps sigui compensada pel gradient de la densitat, com en: Podeu entendre això considerant la llei dels gasos ideals (que és vàlida si el nombre de Reynolds és prou gran com perquè la fricció viscosa no sigui important). Aleshores, fins i tot per a un fluid adiabàtic i químicament homogeni, la densitat pot variar quan canvia la pressió, p. ex. amb Bernoulli. Per a fluids no viscosos, el tensor de viscositat és zero.

Així, per a un fluid barotròpic no viscós amb forces corporals conservatives, l'equació de vorticitat es simplifica a

Alternativament, en el cas d'un fluid incompressible i no viscós amb forces corporals conservatives,

Per a una breu revisió de casos addicionals i simplificacions, vegeu també. Per a l'equació de vorticitat en la teoria de la turbulència, en el context dels fluxos als oceans i l'atmosfera, vegeu.

Derivació L'equació de vorticitat es pot derivar de l'equació de Navier-Stokes per a la conservació del moment angular. En absència de parells de forces concentrats i forces lineals, s'obté:

Ara, la vorticitat es defineix com la curvatura del vector de velocitat del flux; prenent la curvatura de l'equació de moment s'obté l'equació desitjada. Les identitats següents són útils per derivar l'equació:

on és qualsevol camp escalar.

Notació tensorial L'equació de vorticitat es pot expressar en notació tensorial utilitzant la convenció de suma d'Einstein i el símbol de Levi-Civita :

En ciències específiques Ciències atmosfèriques En les ciències atmosfèriques, l'equació de vorticitat es pot expressar en termes de la vorticitat absoluta de l'aire respecte a un sistema de referència inercial, o de la vorticitat respecte a la rotació de la Terra. La versió absoluta és

Aquí, és el component polar ( ) de la vorticitat, és la densitat atmosfèrica, , i w són els components de la velocitat del vent, i és el del bidimensional (és a dir, només de component horitzontal).

Referències

Categoria:Ciència de materials